江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

第页，共页第20页，共20页2025年江西省上饶市余干县高三年级第一次模拟考试数学注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可.【详解】由，得，解得，所以，，由，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出.【详解】，其共轭复数.故选：A.3.“”是“椭圆的焦点在轴上”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解.【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得，故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件，故选：B4.某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（）A.25 B.23 C.21 D.19【答案】A【解析】【分析】先根据百分位数的概念确定的值，再根据等差数列的性质求其平均数.【详解】因为数列为公差为1的等差数列，且，所以该组数据的分位数为，由.根据等差数列的性质，它们的平均数为.故选：A5.在平行四边形中，，，，，则（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值.【详解】如图：以为基底，则，，.且，，所以.故选：D6.将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中的放法数，再求出4个凹槽与其放入小球编号互不相同的放法数，再利用对立事件的概率公式，即可求出结果.【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法，4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法，所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是.故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点．若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据内切圆的性质与双曲线的定义，列式化简求解可得，进而求得离心率.【详解】设分别切内切圆于，则由双曲线的定义可得，即，根据内切圆的性质可得，故，两式相加化简可得，即，故.故双曲线的离心率为.故选：C8.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（）A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增C.存在实数，使得 D.有最小值，最小值为【答案】D【解析】【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可.【详解】由，则，令，则，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；由函数与复合而成，而在上单调递增；故在上单调递减，在上单调递增；所以在处取极小值，且无极大值，又，故不存在实数，使得.故ABC错误，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.存在实数，使圆关于直线对称B.直线过定点C.对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点D.当时，直线被圆所截弦长为2【答案】BCD【解析】【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假.【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误；对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确；对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确；对D：当时，直线：即.圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确.故选：BCD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递减B.若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5C.若函数的最小正周期为，则D.当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则【答案】AB【解析】【分析】根据辅助角公式化简fx=2cosωx+π4ω>0，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得求出即可判断B，根据周期公式即可求判断【详解】由fx=cos对于A，当时，，当时，，故在上单调递减，A正确；对于B，将函数的图象向左平移得fx+π4则，可得，解得，故的最小值为5，B正确；对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误；对于D，当时，，由可得，故，则，故，因此，故D错误.故选：AB11.在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，的最小值为D.当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】当时，点的轨迹为线段，证明平面即可判断选项A正确；当时，点的轨迹为线段，由平面，得出三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，由余弦定理可得选项C错误；当，时，点为的中点，由，可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以选项D正确.【详解】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，，所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确；对于B，如图所示，取、的中点、，当时，点轨迹为线段，，，因为平面，所以到平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知，由余弦定理可得，所以选项C错误；对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，，所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，所以选项D正确故选：ABD.【点睛】本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求解能力，考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式中的常数项为，则实数______.【答案】1【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，代入通项公式可得，解得.故答案为：1.13.已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】先证明函数的对称中心，即，化简不等式得到，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可.【详解】,则，即，∴，∵，∴，∵，即函数在上单调递增，∴，即，∴，即.故答案为：.14.已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据的关系即可求解为等差数列，即可求解空1，根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】由可得，当时，，故，化简可得，（），故为等差数列，且公差为1，故，，故，故，故为等比数列且公比为，首项为，故，故答案为：，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，．（1）求；（2）若，边上的高为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角.（2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长.【小问1详解】由，所以.由正弦定理可得：，因为，所以.所以，又，所以.【小问2详解】因为，边上的高为，所以.根据正弦定理：.由余弦定理：，所以或（舍去），所以.所以的周长为：.16.如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点．（1）求的值；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用可确定点的位置，确定的值.（2）利用空间向量求二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求二面角的正弦.【小问1详解】取中点，连接，，因为三棱柱为正三棱柱，所以，，两两垂直.故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为三棱柱为正三棱柱，且,所以,，，，，因为为的中点，所以.所以，.设平面的法向量为，则，取，设，，即，所以，.因为点在平面内，所以，所以.所以.【小问2详解】由（1）得：，所以，又.设平面的法向量为，则，取.设二面角的平面角为，则由图，所以.17.已知函数．（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；（2）若是的极小值点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果；（2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值.【小问1详解】已知，根据求导公式，，，可得，因为曲线在处的切线的斜率为，所以，解得；【小问2详解】由（1）可得，令则，若是的极小值点，则，则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0，这意味着在处的导数，把代入得，解得；当时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，则在上单调递增，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点；当时，此时，令，则，此时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，则在上单调递增，当时，，单调递减；当时，；所以是的极小值点；当时，令，即，设，则，整理得，由一元二次方程求根公式，因为，所以，，存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减，此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点；综上的取值范围是.18.已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为．（Ⅰ）若，求证：直线过定点；（Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）6【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解，（2）联立直线与抛物线方程可得韦达定理，进而根据斜率公式，化简即可求解（Ⅰ），根据斜率关系可得，进而根据弦长公式以及点到直线的距离得面积的表达式，即可根据导数，求解函数的单调性，即可求解.【小问1详解】设，则，根据可得，故，【小问2详解】设直线，联立与可得，设,则y1故，将代入抛物线方程中可得，（Ⅰ）若，则，化简可得，故，故或，当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去，当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，故直线过定点；（Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则y1y由，则,故，则，故，则，可得，故，由（Ⅰ）知，故，故y1y2故，点到直线的距离为，故，记，则，当−1<n≤0,f故当时，此时取最大值为9故的面积的最大值6【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；（Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利