福建省厦门市部分学校2025届高三下学期2月联考数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页福建省厦门市部分学校2025届高三下学期2月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知为整数集，，则（

）A． B． C． D．2．若复数为纯虚数，，则的共轭复数为（

）A． B． C． D．3．平面向量，若，则（

）A． B．1 C． D．24．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：①；②；③；④.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④5．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（

）A．35 B．34C．31 D．306．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（

）A． B． C． D．7．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（

）A． B． C． D．8．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则（

）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为10．一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.下列结论正确的有（

）A．B．C．函数的定义域为D．11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（

）A．若平面是面积为的等边三角形，则B．若，则C．若，则球面的体积D．若平面为直角三角形，且，则三、填空题（本大题共3小题）12．设随机变量服从正态分布，若，则.13．已知数列的前n项和为，若，则，.14．已知函数的图象平分系列圆的周长与面积，记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列，则的前项和为.四、解答题（本大题共5小题）15．甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7，(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率；(2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望.16．已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)求；(2)若，则面积为，求、的值．17．如图，在五棱锥中，平面平面，．(1)证明：平面；(2)若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积．18．已知函数．(1)若恰有两个零点，求a的取值范围；(2)若的两个零点分别为（），求证：．19．设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．(1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．

参考答案1．【答案】D【详解】因为.故选：D．2．【答案】C【详解】依题意，，由为纯虚数，得，解得，所以的共轭复数为.故选：C3．【答案】A【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】，由于，所以，解得，故选A.4．【答案】A【详解】函数的对称轴为，所以，超出了范围，不符合题意；，时，，且在上单调递增，，即，符合题意；函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；函数为增函数，且时，，，则，即，符合题意.故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.故选：.5．【答案】C【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.【详解】从这七个点任意选取三个点作三角形有个，其中共线的四点中有个不能构成三角形，所以不同的三角形个数有31个，故选C.6．【答案】D【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，下圆台的高为厘米，故上圆台的体积为立方厘米，下圆台的体积为立方厘米，故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选D.7．【答案】C【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：

设，又，由题意可知，直线的斜率一定存在，所以，直线，即，则点，直线，化为一般形式得，因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，点到直线的距离，点到直线的距离，于是，化简得，即，又点在椭圆上，所以，得，因此，，即，解得或，点在第一象限，所以，，则点，所以.故选：C.8．【答案】A【详解】设直线与相切于点，因为，所以切线方程，即，设直线与相切于点，因为，所以切线方程，即，，所以有解，令，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，因为，，所以，所以，的范围为.故选：A.9．【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．故选AC.10．【答案】ABD【详解】，A正确；，B正确；函数的定义域为，C错误；，当时，等号成立，D正确.故选：ABD.11．【答案】BC【详解】对于A，因等边三角形的面积为，则，又，故则，故A错误；对于B，由可得，故，即B正确；对于C，由可得，故.由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离，则三棱锥的体积,而球面的体积，故C正确；对于D，由余弦定理可知由可得，，即，化简得，．取，则，则，故D错误．故选：BC12．【答案】【详解】因为且，所以，解得.故答案为：13．【答案】299【详解】由，得，解得；则，显然是等差数列，所以.故答案为：2；9914．【答案】.【详解】因为，定义域为，令，，则，对于，令，得，所以的对称中心为，即，又，在上单调递减，所以，则，所以的对称中心为，因为的图象平分系列圆的周长与面积，所以圆的圆心为的对称中心，即，由于记圆在轴右侧的圆心的横、纵坐标分别组成数列，所以，所以，记的前项和为，则，故，两式相减，得，所以.故答案为：.15．【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）设甲同学到第三天才预约成功的事件为，根据独立事件的乘法公式，；（2）随机变量的可能取值为，，，，23；16．【答案】(1)(2)，或，【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，则，所以，，即，即，因为，则，所以，，解得.（2）因为，所以，①，由余弦定理可得②，联立①②可得或.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，且平面，所以平面；（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，则，可得与轴夹角为，所以，，，，平面的法向量记为，由，得，令，得，，即，当时，等号成立，此时，直线与平面的所成的角取得最小值，此时.18．【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）令，其定义域为，则，令，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；因为当时，，当时，，且，又恰有两个零点，即有两个根，故函数与有两个交点，所以，故a的取值范围为.（2）因为的两个零点分别为（），所以，，所以，，故，所以，所以要证成立，只需证明，即证，即证，令，即证明，令，又，，由于，令，所以，而，其对称轴为，所以在上单调递增，所以，于是在上恒成立，因此在上单调递增，所以，所以原命题得证.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，答案见解析【详解】（1）当M的坐标为时，设过点的切线方程为，与联立，得，整理得，令，解得或，分别代入方程得和，故得，，同时可求得直线MA的方程为，直线MB的方程为，进而可知，即直线MA与直线MB互相垂直，则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB，设该圆上任一点的坐标为，则，，所以，从而过M，A，B三点的圆的一般方程为．（圆的标准方程：）．（2）设切点分别为，，过抛物线上点的切线方程为，与联立，整理得，，所以，又因为，从而过抛物线上点的切线方程为，即，同理可得过点的切线为，又切线MA，MB都过点，所以得，，即点均满足