2025年兰州市高三诊断考试数学答案

第页，共页第7页，共7页2025年兰州市高三诊断考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.B2.A3.D4.B5.C6.A7.D8.A8.【解析】设双曲线的方程为x2a2−所以c=(1)当过点F2的直线与双曲线C右支交于A,B两点如图1所示.由|BF2则|AB|=|AF∴|AF1在ΔBAF1cos∠F1AB=(3a|即28=9a2所以双曲线C的方程为x23−(2))当过点F2的直线与双曲线C两支交于A,B两点如图2所示由|BF2综合(1)(2)两种情况：双曲线的渐近线方程为y=±2图2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)9.ABD10.BC11.AD11.【解析】由于x∈(0,+∞),x⩽1000100000当x>100时，1001x>1000x+100,故当x>100110000x故必有x0∈(100010000,100对于任意正数N>1,当x>(1001N)x取a=(1001N)10000,当x∈(a,+∞)时，对于任意大于1的正实数N,g(x)⩾Nf(x)因此D正确，而当N=2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.4313.314.14.【解析】正方体ABCD−A1B1C1D1的中心是内切球球心，设为O,O到平面A1BD的距离为d,A到平面A1BD15.【解析】(1)证明：AE=BE2所以∴AC//EF,AC平面B1EF,EF⊂所以AC//平面B(2)如图所示：以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为则三棱锥B1−BEF的体积V=设平面BEF的法向量为n,则n⟂EB→,n⟂EF则B(3,3,0),B(3,3,3),E(1,0,0),F(0,1,0),设直线BB1与平面B1EF所以直线BB1与平面B116.【解析】(1)设事件Ai(i可取1，2，3，4)表示第i次抽到春季卡，3，4)表示第j一次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖，则C=∴P(C)=P(BP(B(3)设事件D表示获奖，则∴D=(且B1∴P(D)=P(B1P(P(P(P(D)=又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数，若促销的30天中预计有360人参加活动，则X~B(360,112),所以E(X)=360×17.【解析】(1)若焦点在x轴，可知b=2,a=所以椭圆的方程为x若焦点在y轴，可知a=2,a=所以椭圆的方程为y2(2)若焦点在x轴，椭圆的方程为x2若直线AB斜率不存在，则B在y轴上，显然满足题意：若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+由{x2+2y由于直线BQ的斜串为k由{x2即(2k2所以直线AC的斜率k由于直线AB:y=kx+2(k≠0)直线AC:y=1k所以直线AC与圆P相切，若焦点在y轴，显然不成立，无需证明…..15分18.【解析】(1)设等差数列{an}公差为解得d=1,所以an(2)证明：设f(x)=lnx−x+1,f′(x)=1x−1=0,x≥1时，f′(x)≤0,f(x)单调递减，∴f(x)(3)因为(1+1b1ln[(1+1b1所以(1+119.【解析】(1)因为sin(y+2nπ)=siny,所以当P(x,y)在曲线且m,n不同时为0)必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性，向量a=(2mπ,2nπ),(m,n∈Z,且m,n不同时为0)，(m,n取一个符合要求的值即可).…..4分(2)因为cossin所以当sin(x+y)=sin故当P(x,y)在曲线S上时，必有P′(2π+2mπ−x,π+2nπ−y)而PP′关于点(π+mπ,π2+nπ)对称，所以曲线(3)先证明曲线S上的点在直线l1的上方或直线设P(x,y)是曲线S上任意一点，即证x+y⩾由sin(x+y)=cos今z=y−π2,则用反证法证明，假设x+z<π+θ,则x+z由cos(x+z)=cos由于x+z=π时原式不成立，故x+z≠π,则2若x+z>π,则π2<又cos故2cosx+z2故x+z<π,即z<π−x,又x⩾0,z⩾0,因此cos从而cos(x+z)=cosx+cosz>0,可得所以cos(x+z)≤由第(2)问可知，点M(π,3π2)是曲线S的中心，过M垂直于由{y=x+π2y=−x+3π左边=sin(故点(π2+θ2,π+θ2)由于点M(π,3π2)到直线M(π,3π2)到直线l2M(π,3π2)到直线