《微积分》课后习题答案详解八

习题八

（A）

I.用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性:

888

(1)T(VM+7-A/M)；(2)S----；(3)5cos—；

乙乙(3“-1)(3〃+2)乙2n

n=ln=ln=l

(4)J£卑3"：(5)yJ—1^00―//-7：(6)yJ00.001

n=in=ln=i

00

解：(1)(>//1—1-->[n)=>/2—1+—V2+...+V«+1—+...=V/7+T—1

〃=l

因为lim(J〃+l-1)-QC

X-XD

所以发散.

8

11VZ1I.IJII1II

(2)7-------------=—/(-------------)=—(-----+-----+...+

乙(3，LlX3〃+2)3-3/J-13〃+2325583〃-13〃+2)z%=。

〃=1"=1n=\

1J1、1

lim—(---------)=—

x->oo323〃+26

所以收敛.

⑶£cos畀

J〃=|2〃

因为limcos—=1*0

In

所以发散.

⑷t罕=£（苧”

n=\~w=l

所以是等比数列，又因为“=苧

所以收敛.

00

（5）y---

占I。。—

因为lim-------=----H0

x->oo100M-7100

所以发散.

⑹上高

因为lim；------=1^0

XT840.001

所以发散.

2.证明：若正项级数收敛，则级数£襦必收敛.并举例说明其逆命题不成立.

解：因为所以存在当”>〃时

limun=0|M;J|<I

所以存在当时，〃〃之“广

又因为£%收敛，所以如4收敛。

n=l.1=1

例如：=4

n〃/

£4■收敛，而之［发数

w=l"n=l

所以其逆命题不成立。

3.证明：若级数£*与£说都收敛，则正项级数之小编，£M+%）2,£耳也

n=ln=i/i=lzi=ln=l

收敛.

解：因为*心（『+■）且宜（a1%）

n=l

所以才|%%|收敛

n=\

g

因为（册+V,,）2<（M；+vJ）且£焉+*

所以力Y+吟收敛.

n=l

因为国g*且1/收敛.

nJ

n=\

所以㈣收敛.

n

4.证明：若级数£〃“与£%都收敛，且存在整数N使得当〃AN时不等式成立

n=ln=l

%£%«孙

成立，则级数£。〃必收敛.

W=1

若级数£““与之％都发散，且存在正整数N使得当〃>N时不等式成立

n=l

%V%41。

成立,试问级数£%是否必发散？

〃=1

解：证明：

因为之““收敛且之I，”收敛.

n=lw=l

所以Z-%）收敛，所以Z-％+vn）收敛

n=ln=l

所以£即收敛.

n=l

例如：£%=-1发散，2""=】发散，£%=。收敛.

n=ln=ln=l

所以级数Z跖未必发散.3SSS

n=i

5.已知正项级数z"〃与£%都发散，试问正项级数tmax%。，4},£min{““，/}是

w=ln=ln=l〃=1

否也发散？说明理由.

解：由比较判别法知正项级数£max{〃”.心}必发散，但£minE，%}未必发散,例如:

n=lH=\

1,〃是奇数，

令斯，V,,=1-//„

0,一是偶数,

则min{〃“,7=0（Vn）}.

6.利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性：

（1）y（2）y3',in—；（3）y——-——；

I闪£S4〃勺（2〃-IX"2）

少।“.

因为£土是发散的.

〃=1

所以之味是发散的.

/|=|

”+1

（3-一〃-1）2

又因为£n

（6）lim----8------3,收敛.

TOO（3/r-（3〃2一“一1）”

"/|=1

所以原级数收敛.

（沙I（箭”（为1

（7）——+-------

1----

16

因为一！一=女（女为常数）且[1-（义）〃]收敛.

[]_（m〃]16

16

所以原式也收敛.

,1

r=£00-―7«00

（8）£yq

（〃+2）J〃々n+2-n+2

n=l、'------H=1W=1

因为£号收敛，所以原式收敛.

71=1

（9）f^<y±

（E〃）"£〃”

因为之收敛

n=l4"

所以3收敛.

9On〃）〃

（10）当ao时，工发散.当”1时，-^-<y4

y—2Jy]+an七«M

/i=ln=\内=1

06

因为不点收敛,所以斗六

当时，y--发散.

£八1

所以当“21收敛，当a<l时发散.

7.利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性:

oo々oo

⑴z筌■⑶*

Q)学⑷Z7

£4/rW=1I

〃=1n=ln=\2+-

n

80/.\n8

Y—]

⑸Z会（其中常数.3；(6)n

hEl"

⑺E(w

n=l(lnM+l)]

800

(8)2・12・22…(10”-2)2000

£十；(9)X(10)

⑵J+D"〃!

"=l..nn=ln=l

(〃+l+l"(”+1+1)3

解：⑴1而(〃+为<lim(〃+)<1

“f8+"f8(〃+1"

n\n\

所以收敛.

3叫〃+1)!

(2)lim皿=limS+!严=lim3(—),r=->1

unn->oo3”〃！"TOOn4-1e

所以发散.

K"+l过

「"〃+l[4〃+1)3

(3)lim=------=------------=oo

”f»un(〃!)“〃+l

才

所以发散.

所以是收敛的.

⑸lim"J—=Iim-=O<1

“TooYH->00n

所以收敛.

(6)linjQ巧二<1

n->ooV3〃-43

所以收敛.

(7)limJ------------=lim------------=0<I

…叫[ln(z?+1)"]〃->8ln(?i+1)

所以收敛.

(8)lim(〃+?向=e<l所以发散.

n->o>]

1+-

nn

212-22-(10n-2)..1.

(9)lim/)---------------=lim------=0n<1

n->coy(2n+l)nn-xc2n+1

所以收敛.

2000〃+l

z(n+1)!2000八,

(1i0m)lim-----=lim----=0<1

“廿2000“n+1

〃！

所以收敛

8.判别下列交错级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛:

8

(-1)1(-If-1（3）y（-：尸

(1)(2)X

M+i3/1-2

n=\/?=1

0（5）y（-1尸五

(4)(_尸2〃+l⑹£“中

n(n+1)n—I

z〃=|

n=\W=1

oo8____

/八。—11・兀2

(7)z㈠）户吗;(8)ZsinnV/1+1;

〃二1n=\

(9)

4i-4iV3+V2\4-V2V4+V2V5-V2V5+V2

111

(10)I--+3+2s+2n+,+

32323+2'13

解：⑴lim一一=0且一一>---4

M-XX+]M+i(n+|/+l

需又因为N

所以£M也收敛.

n=l

所以原级数是绝对收敛的.

(2)，吧彳r°且元F?

所以£更;收敛，又因为£白发散

n=\〃=1

所以W已二条件收敛.

J3〃一2

n=l

(3)lim---/=0且——(----->----=

ilnJJ+2lnV/r+2lnV(/»+i)2+2

所以之(?尸=0,又因为之停产发散,

〃=1InV/r+2n=ilnJJ+2

所以原级数条件收敛.

.2H—2H------

(4)lim-n-=0k—S—山

n(n+1)〃+lZJ+1+1

所以3(-1)，1二二收敛.

—n(n+1)

n=l

又因为之22iL=y二发散.

Jn(n+\)Jn+1

n=ln=l

所以原级数条件收敛.

(5)lim-lim----!——=0

〃->8n-1"TOO___•_

且下，N1

Vn——T=J〃+1—----

J〃J〃+l

所以lim(-1)”收敛.

“->00

又因为iim—发散

〃T8小厂孟I

所以原级数条件收敛.

(6)

〃->Rfl7!->CO/

因为"l<e"所以lim电”由=0

n-x©n

rnM-〃+1〃+I+1

因为丁2卞二

所以为㈠尸皿詈

n-1

又因为£地也发散，所以原级数条件收敛.

/1=|

(7)lim-今si吟=0,因为(尢呜)，<0,

〃一>00衣,

所以---rsin->----sin—^―

乃〃+1〃乃”+1+1〃+1

所以£（-l）'i』sin工收敛.

£/川n

又因为£Jfsin?收敛，那么原级数绝对收敛.

n=l'

(8)因为〃—>xVn~+i—>n

所以sin^v«^+l—>sinHTT

所以limsin/rj/，+l=0

又.因为sin;rj〃2+I>sin;rj(〃+1)?+1

所以ZsinJ』+1收敛.

w=l

又因为£卜n”右7

"=|

所以原级数条件收敛.

⑼上迎

Jn

n=\

所以原级数发散.

8

(io)-y(-!---^―)

//2〃一32〃+

/r=l~

因为方47收敛，且之士7收敛•

n=\«=1

所以之（3-』）且*（17一*）收敛•

2〃一3"十^2。一|3己〃+1

〃=1ii=l

所以原级数收敛.

9.设a是一个常数，判别级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛

还是条件收敛.

二=£收敛•

解：当aw0时Z上「=£”0时Z

当时攵敛.

n=l

所以时工备绝对收敛.

n=l

当时=i时£■=升为常数）

n=l&

所以当时=1时之上百发散工=2

«=1"

10.设a是一个常数，判别级数£（-1广，1-8542

的剑散性，当级数收敛时要确定级数是

n=lI）

绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数〃的取值有关.

解：因为12(1-8$23)2=0因为〃T8,cosg->I

n

所以1-cos—>i-cos(—^―)

nn+\

所以〃…”产收敛.

71=1

又因为£(1-COS4)2收敛

y〃

所以对任意常数“级数绝对收敛.

sin〃a1

11.设。是一个常数，判别级数是敛散性，当级数收敛时要确定级数

w=l

是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数a的取值有关.

解：因为（誓

fCVn

r；r-pisina1sina1

所以丁一方＞即一右7

又因为】加（43）=0

"T8"J"

所以之（当卜产收敛.

£〃24

又因为£坐发散.

所以Z（詈-十）条件收敛.

8

12.已经幕级数£%（1-2）〃在点>0处收敛，在点x=4处发散，求累级数2。4的收敛

半径与敛域.

解：因为名册（."2/在/=0处收敛.在点x=0处发散.

n=!

所以收敛半径是R=2

所以£斯.产的收敛半径是R=2

/|=|

Z的收敛半域是［0,4J；

13.求下列需级数的收敛半径，收敛区间及收敛域:

X(3)£

(1)

Z〃・2〃

n=l/|=1

oo00震人注意…

(4)z卜。其中〃是一个正整数）;⑸E

〃=1/1=1

8

(6)⑺Z(-I)”—（8）y（其中常数”>o）；

X(2〃-1)(2，—)！y〃-+i

n=lH=I

0

(9)z3"+(-2)J(10)

rt=1

I

(〃+1)2"n_1_

解：⑴limliin

"T8I“T工2/J+I2

2”・〃

所以R=2,所以收敛区间为（-2,2）

当一2时，±可收敛.

n=\

当户2时，t3发散

〃=1

所以收敛域是［2,2）

5+1)!

(c、I.(〃+I)I./K1

(2)Inn-——/一=lim(-------)=-

”->oc〃->s〃+1e

F

所以R=e,收敛半径区间为(~e,e),

当x=-「时££(—e)”发散,

〃=1"

当时名发散・

n=\

所以收敛域为（-e,e）.

4w+,+(-5)w+,4

〃4(--)H+(-5)

(3)lim”+1=lim=5

4"+(-5)”n->xn+1(++1

所以R=g收敛区间为（总占

31+A)"

当R=—g时，存一^发散.

n=l

（_1产+（》

------匚收敛,

当我4时，Zn

所以收敛域为（-衿

(〃+1)人

5+D!

(4)lim=0,R=00,所以收敛区间和收敛域均是（-00,+oo）.

«-X>0

(5)lim

〃->oc—用2(2〃+1)4

所以R=4,所以收敛区间为（-4,4）

B2

当x=T时'学/-4)〃发散.

£⑵)！

当x=4时，直（T）”发散.

所以收敛域为（-4,4）

(6)lim(2"T)(2，T=|而与1=o

“th(2n)(2«)-nf®4n~

所以R=4<o,收敛区间和收敛域为（-8,+8）.

(-1)”

(7)lim

〃一>工(-1尸

所以R=1

(-1-

lim|(2〃)(2，?！]=X〃<I,所以收敛半径为1.

"TOO

(2n-lX2w-l)

当』]时之(-1尸发散.

n=l

所以收敛域为（-1,1）.

当-22.____!—收敛.

中，2«+n-Hr

所以收敛域为3，¥

〃+1

3向+(-2)”〃+1II

(9)lim=lim

〃一KO3+(等”(-2)3

3"+(_2)”

所以R=3,收敛区间为（-3,3）

当工=一3时元一y发散,

M（-1）"+（铲

当x=3时之发散.

£1+旨

所以收敛域为（-3,3）

n+2

)2〃-12|

(〃+2)(2〃-1)

(10)lim2n+\=lim

-

/?->f\+n)2〃-1“TOO(2〃+1)5+1)4

2n-l

所以R=4,收敛区间为（-4,4）.

2/r-i

当…时£3）

(-4)«发散.

2n-l

当Y3)

4〃发散.

14.求下列辕级数的和函数:

8

fix(3)

⑴Z⑵sAn-2£里…

rt=ln=l〃=1

00oo

2〃-I，2w-2

x(5)

⑷E2”.(2/0!

n=\/l=l

解：(1)=0儿t"T=A(yXny=.v(—)'=—^(-1<X<1)

〃=l9Ii

In》

=—ln-^4(-l<A<l)

(2)彳2『2(小・3)心=/1-*

441-.V2

/|=1

800

=/Z(-l)f2(，L%=12(-DM.r2,,<iv=£—!-y=arctanx(-\<x<\)

(3)

nclw=l"

(4)=(y-LA-2n-,)=(iy(^.)«)'=(-—^-)=2+a>\(-V2<A-<V2)

£2"2、工(2-x2r

2

r2«

(5)y之(-1)«-'2_

y(2/0!

W=1

82n

cosx=、(-l)w———

々⑵川

n=l

£r2n

：.y(-i)n-,•--=-cosx

y⑵?)！

n=l

=3（'+「）

15.利用利级数的和函数求卜.列级数的和:

00（2）y（-"-〃+】）00

(3)z

⑴Z(M2-1)2H

n=\/i=lZl=l

解:⑴之嵋*=£6/川―।亦］

n=l〃=1

(-1尸二兀

令X=1则Z

2n-l4

n=]

82

“〃2_〃+1)/=之2Atx

(2)自"-Z(W-|)Z

(17)3l-.V

〃=1〃=1n=l

令x=6则Z

〃=1

⑶，士八*+竽-*训*)

1153

令x=~7=8-4

n=\

16.把下列函数展开成x的暴级数：

⑴标⑵晤；

(3)cos2x;

(4)cos(x+—);(5)ln(3-2x-x2);(6)arutanx.

解:

则14岑什可孚―

0

(2)=-=-Iln(l+^)-ln(l-x)J=X+-A3+-X5+...=V,-■—A2n-I(.r€(-1,1))

2\-x235-2〃一1

n=l

cos2x+111(2A)2W./..

---------=-+->(-1)-——(JIG(^O,-HX>))

222乙(2〃)！

n=\

4..兀

4)=8sxeos----sinxsin—=.v-sinx)

4

2〃£2〃+l

(-if---Y(-ir---](xe(-oo.+<0))

(2M)!—(2/2+1)!

«=i

5)=ln[(l-x、3+x)]=ln(l-.v)+ln(3+x)

=£**)串3

-l]xn+ln3(x€[-1,1))

〃二1

6）=1士小工不厅―eITD

17.把下列函数展开成x-丽的哥级数:

（1）/（.r）=sins,.^=—;(2)/⑶小=2.

6

解：1)/(.r)=sin(x-—+—)=sin(.v-----)cos-----cos(x-----)sin—

666666

V3..乃、T,兀、

=-^-sin(x--,1--cos(.t--)

1«(x--)2n+,«]

=♦.£(7)”/--y(-Dw--Kxe(^o.-Ho))

W=lW=1

2)r(A-)=(-i)x-2

ru)=(-ix-2)r3

r，(x)=(-IX-2)(-3)-x-4

:./（"）*）=

(-l)n

.」=好"-2)”

w=0/

收敛为w(0,4)

(B)

1.选择题

（1）正项级数收敛的充分必要条件是（D）.

〃=1

A.limu=0B.iimu=0,且〃底]<〃〃，〃=12…

〃T8n“TOCn

C.Iim3=p<lD.部分和数列有界

Un

（2）设级数£叫绝对收敛，则级数+（B）.

〃=1n=l

A.条件收敛B.绝对收敛

C.发散D.的敛散性还不足以判定

(3)设“是一个常数，且级数2与绝对收敛，则级数2(-1)“〃〃2”由缶(c).

A.发散B.条件收敛

C.绝对收敛D.敛散性与”的取值有关

(4)设0《“”＜，(〃=],2...),则在下列级数中肯定收敛的是(D).

n

A.B.C.Z血

(5)设常数八0,且级数Z扉收敛，则级数Z(-v

A.发散B.条件收敛

C.绝对收敛D.收敛性与2有关

(6)在下列各选项中正确是的(A).

A.若£*和之口都收敛，则收敛之%+%)2收敛

〃=1〃=ln=\

B.若以“+%|收敛，则£*和之若都收敛

W=1w=l/1=1

c.若正项级数为““发散，则%

D.若级数£厮收敛,且%之物(〃=12...)，则级数》＞〃也收敛

(7)设外=坐，%=&料(〃=1,2...)则在下列命题中正确的是(B).

A.若条件收敛，则名p”与名册都收敛

〃=1〃=1n=l

B.若力乐绝对收敛，则与另外都收敛

w=i/1=1w=l

c.若之即条件收敛，则与£金的敛散性都不定

n=\n=\w=1

D.若石即绝对收敛，则名〃“与名册的敛散性都不定

（8）设%=若右册发散，收敛，则下列结论中正确的是（D）.

t=ln=1

A.£“21收敛，石。2”发散

B.收敛，Xa2n-\发散

〃=1n=l/i=ln=l

8

C.Z（“2nT+。2〃）收敛D.E（"2〃T-%）收敛

〃二1n=l

（9）设有以下命题:

①若£（〃2〃T+“）收敛，则£与收敛;

n=ln=l

②若£“”收敛，贝j£"〃+1000收敛

n=ln=l

③若］贝〃发散；

④若£（即+%）