冶金传输原理（第2版）传输原理 8 相似原理

第八章相似原理和模型研究方法8.1相似的概念8.2相似原理8.3量纲分析8.4模型研究方法8.1相似的概念一、相似性质和相似条件相似的概念来自于几何学，三角形相似就是典型的相似问题，物理现象相似首先要求几何相似，其它条件：相似常数、相似指标、相似特征数等；三角形相似相似常数物理现象相似时，空间相对应的点与时间相对应的瞬间，表征该现象特征的所有物理量必然各自保持一定的比例关系。进而可以将物理相似转化为几何相似。8.1相似的基本概念二、流动的力学相似流体流动现象的相似除上述几何相似、时间相似、速度相似、力相似外，还包括其它物理量(如密度、黏度等)的相似。对于所有这些物理量，相似是指这些物理量的场相似。在对应时刻，对应点上物理量成比例的两个流场称为力学相似的流场，简称相似流动。同流体流动现象一样，其他各种物理现象，如热量的传输、质量的传输等，都伴随着许多物理量的变化。对于这些现象，相似是在相似的空间中，表述这些现象的各物理量的场相似。8.2相似原理在几何相似的两个流场中，所有对应位置上的速度方向相同，比值相等的运动情况，称为运动相似。如物体做匀速运动相似变换约束关系相似指标8.2相似原理一、特征数的导出下面以不可压缩黏性流体的不稳定等温流动为例，用相似转换法，即方程分析法来导出其特征数。假定有两个彼此相似的流动体系，因x、y、z方向上的运动方程形式完全一样，故只对x方向的连续性方程和运动方程进行相似转换。第一体系有：8.2相似原理第二体系有：根据相似定理可以给出：8.2相似原理综合上面的三个公式，可以得到：任意数进一步将公式整理成相似指标式：8.2相似原理均时性数：不变量傅鲁德(Froude)数：不变量欧拉(Euler)数：不变量雷诺(Reynolds)数：不变量10.2相似原理二、特征数的物理意义均时性数傅鲁德数欧拉数雷诺数整个系统流动过程进行时间与流体质点通过系统中某一定性尺寸距离所需要的时间的比值重力位能与动能比值或重力项与惯性力项的比值流体压力项与惯性力项的比值流体惯性力项与粘性力项的比值需要注意：“相似性质”是指彼此已相似的现象具有什么性质，而“相似条件”满足什么条件后，一切现象才能彼此相似。10.2相似原理三、特征数的转换

①相似特征数的n次方仍为相似特征数；②相似特征数的乘积仍为相似特征数；③

相似特征数乘以无量纲数仍为相似特征数；④相似特征数的和与差仍为相似特征数；⑤相似特征数中任一物理量用其差代替仍为相似特征数。10.3量纲分析一、量纲的基本概念在动量传输中，常用的基本量纲为：

长度(L)，质量(M)，时间(t)，温度(T)。常用导出量的量纲为：

速度υ，[υ]=[Lt-1]；力F，[F]=[MLt-2]；压强P，[P]=[ML-1t-2]；密度ρ，[ρ]=[ML-3]；重力加速度g，[g]=[Lt-2]；黏度系数μ，[μ]=[ML-1t-1]；运动黏度系数ν，[ν]=[L2t-1]。另外，物理方程式中有量纲的常数，如气体常数R的量纲为[L2t-2T-1]。10.3量纲分析二、量纲和谐原理量纲和谐原理：不同物理量如能组成物理方程，不论其在形式上如何变化，各项的量纲必须是一致。量纲和谐原理是量纲分析的基础。因此，在推导出新的物理关系后，首先要考察量纲是否和谐。如量纲不和谐，推导过程必然错误。三、

π定理或白金汉(Buckingham)定理基本原理：在某一个物理过程中包含n个物理量x1，x2，···，xn，即：其中有m个是基本量，即量纲相互独立，则该物理过程可由(n-m)个纲量为1的特征数建立关系式来表示，即：10.3量纲分析四、π定理的应用以不可压缩黏性流体的不稳定等温流动为例：①设影响某一现象的因素有υ、l、P、ρ、μ、g、t，则②③指数④根据特征数的量纲为1(量纲和谐原理)的特点，确定ai、bi、ci：10.3量纲分析五、写出特征数方程式同理可以求出：10.3量纲分析例题1：直径为800mm的管道，20℃的空气以平均流速为2m/s在管中流动。今以直径为75mm的管子作模型，用20℃的水进行实验，为了使模型与实物流动相似，问水的平均流速应为多少？

解：以管子直径d为定性尺寸。对于粘性流体在管内作有压流动的情况，其决定性准数为雷诺数，故两流动相似的条件是Re‘‘=Re‘，即：查表可知，20℃时空气的运动粘性系数ν‘=0.157沲；20℃时水的粘性系数ν‘‘=0.0101沲。于是有10.3量纲分析

即水的平均流速为1.372m/s，模型与实物的流动即可实现相似。例题2：用量纲分析法确定不可压缩粘性流体绕流球体流动时的阻力公式。已知，阻力F与流速υ∞，球的直径d，流体的密度ρ、粘度μ有关。

解：f(F，υ∞，d，ρ，μ)=0。选取υ∞，d，ρ为三个基本量纲的代表，已证明他们在量纲上是独立的。这样有：10.3量纲分析对(L)：1=a1+b1-3c1；对(M)：1=c1；对(t)：-2=-a1解得，a1=2，b1=2，c1=1。所以组成无量纲量；同理可求出：

或

令

则上式改写为：说明阻力系数ζ是雷诺数Re的函数，这和前面得到的结果是一致的。10.3量纲分析对于球形颗粒，阻力系数与Re的关系可分为如下四个区域：第一区域：在Re<1时，称斯托克斯定律区。10.3量纲分析第二区域：在Re为0.2~800范围内，称过渡区。第三区域：当500<Re<2×105时，称牛顿定律区。

ξ≈0.43第四区域：当Re>2×105时，阻力系数开始突然下降到原数值的1/4~1/5，然后随Re增加而略有增加。极限速度：当颗粒下降(或上升)速度增至某一数值时，作用在颗粒上的阻力将与重力(或浮力)呈现平衡，颗粒即以匀速下降(或上升)，这时的颗粒速度称为极限速度。对于Re<1的斯托克斯定律区：10.3量纲分析对于过渡区，其雷诺数在1<Re<500，有：对于牛顿定律区，500<Re<2×105：10.3量纲分析例题3：试计算直径为20μm的球形夹杂物在静止钢液中上升的极限速度。已知：ρk=2.7×103kg/m3，ρf=7.1×103kg/m3，μ=5.5×10-3kg/m•s。解：然后再求Re，以检验之：10.4模型研究方法近似模化法：分析在相似条件中哪些因素对过程是主要的，起决定作用的，粘性是次要的，所起作用不大。对前者尽量加以保证，而对后者只做近似保证，甚至忽略不计。流体流动的稳定性：粘性流体在管道内流动时，不管入口处速度分布如何，流经一段距离后，速度分布的形状就固定下来，这种特殊性称为稳定性。自模化：速度分布彼此相似，与雷诺数的大小无关。层流时(Re<Re临)为第一自模化区，此时速度分布彼此相似；湍流时(Re>Re’临)为第二自模化区，此时阻力系数保持不变。10.4模型研究法

π非i－任一非定性准数

简化一个定性准数

其中：π决i－定性准数其中：

C、ni－待定常数模型实验的数据处理：通过定理给出准数方程，由试验结果确定出方程中参数。这是一直线方程。画在对数坐标上，用最小二乘法可求得lgC与n的值。当定性特征数数目在两个或两个以上时，用多元线性回归方法求得各待定常数。10.5小结相似原理实质上是指导实验的理论。它提供了通过实验求解复杂现象方程组的途径。按相似正定理，实验时必须测量出各特征数所包含的一切量。按相似逆定理，实验时