现代机械强度引论4 塑性力学基础

4塑性力学基础122、3章小结弹性力学基本方程一点处的应力应变主应力主应变设计计算最终目的强度准则坐标变换方程求解：解析法、有限元法3问题什么是强度准则？（强度理论？）应力张量由哪两部分组成？各有什么特点？应变张量由哪两部分组成？各有什么特点？体积的弹性变形规律如何表达？形状的弹性变形规律如何表达？弹性力学的两类平面问题是什么样的问题？尝试一下，可否自行推导出最大剪应力理论和形变能理论的当量应力表达式？设计应用实例——轴的强度计算同时考虑弯矩和扭矩的作用第三强度理论4两个工程实例——弹塑性变形问题（1）圆轴的弹塑性扭转轴横截面的三种应力分布状态（a）弹性极限状态；（b）弹塑性状态；（c）全面屈服状态；5两个工程实例——弹塑性变形问题（2）梁的弹塑性弯曲问题梁横截面的三种极限应力分布状态弹性极限状态弹塑性状态塑性极限状态67第4章目的解决弹塑性条件下的强度问题两个关键问题强度准则——屈服准则；塑性区的概念弹塑性应力应变的分析84塑性力学基础4.1弹-塑性应力应变关系的特点及几种理想模型4.2增量理论4.3全量理论4.4两个常用的屈服准则4.5应用分析实例94.1弹-塑性应力应变关系的特点及几种理想模型(1)弹塑性应力应变关系(2)几种理想的应力应变关系模型(3)弹塑性应力应变分析的特点(4)两个基本的弹塑性理论简单拉伸试验静水压力试验10(1)弹塑性应力应变关系简单拉伸试验弹性变形：O—C—O—C—O—

卸载后变形消失；应力应变呈线性关系（加载、卸载相同）；与加载历史无关（惟一性）；弹塑性变形：O—C—D—G—E—G—D—

卸载后塑性变形不消失；应力应变呈非线性关系（加载、卸载不同）；与加载历史有关（不惟一性）；11(1)弹塑性应力应变关系静水压力试验（1）各向均压时体积变化是弹性的。静水压力与材料的体积改变之间近似地服从线性弹性规律。（2）对于金属材料，当发生较大塑性变形时，可以忽略弹性的体积变化，即认为在塑性变形阶段材料是不可压缩的。（3）材料的塑性变形与静水压力无关。对钢等金属材料，可认为塑性变形不受静水压力的影响。对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形均有显著的影响，此时不能被忽略。12(2)几种应力—应变关系的理想模型理想塑性模型线性强化模型幂强化模型

理想刚塑性模型理想弹塑性模型

刚塑性线性强化模型

弹塑性线性强化模型塑性变形是理想的塑性变形是线性强化的13理想刚塑性模型屈服前：刚性无变形屈服后：理想塑性流动适用材料特点：塑性变形很大，强化程度很低，弹性变形相对非常小时。14理想弹塑性模型屈服前：线弹性变形屈服后：理想塑性流动适用材料特点：弹性变形和塑性变形属同一量级，强化程度低。15刚塑性线性强化模型屈服前：刚性无变形屈服后：线性强化适用材料特点：弹性变形塑性变形相对非常小，塑性强化材料。16弹塑性线性强化模型屈服前：线弹性变形屈服后：线性强化适用材料特点：弹性变形和塑性变形属同一量级，塑性强化材料。17幂强化模型理想线弹性材料理想刚塑性材料特点：在应变较大时合理；卸载时按n=1；解析形式简单；不必区分弹性区和塑性区。其它常用的简化的强化模型材料的后继屈服应力一般随塑性变形的增加而增加，且一个方向上的后继屈服应力的变化（强化），将会引起反向的后继屈服应力的变化。等向强化模型，又叫各向同性强化模型。它假设材料经历拉伸塑性应变与压缩塑性应变，都将使材料发生同等的强化。随动强化模型。对一般材料，当正向强化时，反向会弱化，这种现象叫作Bauschinger效应。组合强化模型。为克服随动强化模型的缺点，更真实合理地反映材料特性，将上述两种强化模型结合，即得组合强化模型。18等向强化模型随动强化模型三种强化模型的对比19(3)弹塑性应力应变分析的特点对材料塑性行为的一些基本假设：（1）材料的塑性行为与时间、温度无关。（2）材料具有无限的韧性，不会出现断裂现象，不考虑脆性断裂的问题。（3）变形前材料是初始各向同性的。（4）在产生塑性变形后，卸除载荷时材料服从弹性规律；重新加载后的屈服应力，即后继屈服应力，等于开始卸载点的应力值。（5）任何应变状态总可以分解为弹性和塑性两部分，且弹性性质不因塑性变形而改变。（6）塑性变形时体积不可压缩，静水压力只产生体积的弹性变化。（7）材料稳定性假设，即应力-应变曲线单调变化。2021(3)弹塑性应力应变分析的特点基本假设：除理想弹性这一点外，其余同弹性力学。则：平衡方程、几何方程均相同；应力应变之间的本构关系是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关——不惟一性；在变形体中存在弹性变形区和塑性变形区，因而在求解问题时，需要找出弹性区和塑性区的分界线（屈服准则）；22(3)弹塑性应力应变分析的特点在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸载过程。在加载过程中，使用塑性的应力应变关系方程；在卸载过程中，使用广义胡克定律。线弹性力学假设连续性假设均匀性、各向同性假设完全弹性假设无初应力假设

小变形假设2324(4)两个基本的弹塑性理论目的：找到塑性应力应变之间的关系（物理方程）增量理论：考虑任一瞬时塑性应变的增量，需积分求解；又称流动理论全量理论：考虑塑性应变分量与应力分量之间的关系；又称形变理论254.2增量理论(1)基本方法(2)推导思路(3)应力应变张量与偏量的分量表达(4)弹性应变增量与塑性应变增量(5)增量理论的基本假定(6)增量理论的塑性应力—应变方程(7)两个常用的增量理论方程(8)讨论增量理论思路总结26(1)基本方法了解瞬时的应变增量，然后用积分或逐次累加的方法求得整个加载过程中某一时刻的应变全量。只考虑瞬时应变增量与应力偏量之间的关系，因而其基本方程与加载过程无关。弹塑性应力应变关系的历史相关性由积分过程实现。反映塑性变形实质，适用任何加载方式。求解复杂。27(2)推导思路基本思路：由于应力的球形张量只引起材料的体积改变，或者说：材料的塑性变形与静水应力无关。可以认为：塑性变形仅由应力偏量所引起。基本目的：建立瞬时总应变增量与应力偏量之间的关系。基本方法：分解与叠加。考虑到瞬时的总应变增量分成弹性和塑性两部分，分别建立他们与应力偏量之间的关系，再叠加后即可。28(3)应力应变张量与偏量的分量表达1）应力张量与偏量的分量表达应力291）应力张量与偏量的分量表达(3)应力应变张量与偏量的分量表达302）应变张量与偏量的分量表达应变(3)应力应变张量与偏量的分量表达312）应变张量与偏量的分量表达(3)应力应变张量与偏量的分量表达32(4)弹性应变增量与塑性应变增量1）塑性状态下的总应变增量形式33(4)弹性应变增量与塑性应变增量2）弹性应变增量与应力偏量之间的关系塑性状态下，材料是不可压缩的，即材料的塑性体积变形为零。总应变增量的分解3435(4)弹性应变增量与塑性应变增量2）弹性应变增量与应力偏量之间的关系应变偏量的增量36(4)弹性应变增量与塑性应变增量2）弹性应变增量与应力偏量之间的关系应力应变的弹性增量部分满足广义胡克定律3738(4)弹性应变增量与塑性应变增量2）弹性应变增量与应力偏量之间的关系弹性阶段，应变偏量增量与应力偏量增量成正比增量形式的广义胡克定律39(4)弹性应变增量与塑性应变增量3）塑性应变增量40(5)增量理论的基本假定1）Reuss假定：在塑性变形过程中，任一微小时间增量内的塑性应变增量与应力偏量成正比

41(5)增量理论的基本假定2）非负的标量比例系数d

在加载过程中变化；变形的某一瞬间反映塑性应变增量的分量与应力偏量分量的比值；屈服前，d=0。(6)增量理论的塑性应力—应变方程4243(6)增量理论的塑性应力—应变方程44(6)增量理论的塑性应力—应变方程d

的推导前式两两相减，参见p.55推导过程45定义有效应力有效应变有效应变增量4647(6)增量理论的塑性应力—应变方程有效应力等的主应力表达形式4849(7)两个常用的增量理论方程理想弹塑性材料的Prandtl-Reuss方程理想刚塑性材料的Levy-Mises方程50(8)讨论增量理论的核心：Reuss假定；描述塑性应力—应变关系的Reuss假定式与描述弹性应力—应变关系的广义胡克定律形式上相似；反映了塑性变形的体积不变性；反映了塑性变形过程中应力—应变关系的非线性及与加载路径的相关性。51增量理论求解思路总结求弹性应变增量求塑性应变增量求总应变增量体积变形是弹性的；应力应变增量在弹性阶段满足广义胡克定律；化为应力应变偏量之间的关系；Reuss假定瞬时、偏量形式524.3全量理论直接用一点的应力分量和应变分量表示的塑性本构关系数学表达式比较简单，应用起来比较方便应用范围受到一定的限制。

534.3全量理论—弹塑性小变形理论基本假定分析思路本构方程适用条件544.3全量理论—弹塑性小变形理论基本假定无初应变假定：加载过程比例变形假定：应力主轴方向保持不变，各应变分量之间在变形过程中始终保持固定的比例554.3全量理论—弹塑性小变形理论分析思路以增量理论为基础，分三步走：分析应变关系分析应力关系建立本构方程564.3全量理论—弹塑性小变形理论本构方程一：Hencky方程574.3全量理论—弹塑性小变形理论本构方程二：伊留申方程584.3全量理论—弹塑性小变形理论适用条件（1）必要条件：外载荷按比例增加，变形体处于主动变形的过程，不出现中途卸载的情况；（2）简化条件：体积是不可压缩的，泊松比；（3）物理关系：材料的应力应变曲线具有幂强化形式；避免区分弹性区和塑性区；（4）满足小弹塑性变形的各项条件：塑性变形和弹性变形属于同一量级；有效应力和有效应变满足单一曲线假定。594.4两个常用的屈服准则Tresca屈服准则（最大剪应力屈服条件）Mises屈服准则（形变能屈服条件）604.5应用分析实例圆轴的弹塑性扭转问题梁的弹塑性弯曲问题61圆轴的弹塑性扭转问题目的：在给定尺寸R、载荷MT条件下分析：载荷多大时开始进入塑性变形阶段；载荷多大时达到全截面塑性变形状态；分析弹塑性分界区，找到其与扭转角之间的关系。62圆轴的弹塑性扭转问题基本思路：变形分析：适用于弹性及塑性分析；简单加载、小变形：可以应用全量理论；弹性极限：屈服；分界；塑性极限：全截面受力相同：屈服；63圆轴的弹塑性扭转问题变形分析1：弹性扭转分析64圆轴的弹塑性扭转问题变形分析2：弹塑性扭转分析65圆轴的弹塑性扭转问题全量理论：66圆轴的弹塑性扭转问题不同状态的应力分析：（a）弹性极限状态；（b）弹塑性状态；（c）全面屈服状态；67圆轴的弹塑性扭转问题弹性极限状态：可应用弹性分析及弹塑性分析两种方法Mises准则Tresca准则68圆轴的弹塑性扭转问题全面屈服状态：Mises准则Tresca准则69圆轴的弹塑性扭转问题弹塑性状态：弹塑性区分界面半径为rpMises准则Tresca准则70梁的弹塑性弯曲问题目的：分析梁的弹塑性极限载荷71梁的弹塑性弯曲问题基本分析思路：以Mises准则确定屈服应力，即可能的最大应力；分析梁的各种可能的应力状态；分析不同应力状态，得到极限载荷。72梁的弹塑性弯曲问题屈服应力：应用Mises准则，对于剪切屈服应力k，屈服应力：73梁的弹塑性弯曲问题应力状态分析弹性极限状态弹塑性