2025年中考数学总复习《圆与函数综合》专项检测卷附参考答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆与函数综合》专项检测卷附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．2．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值；(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．3．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”已知在中，，，．(1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径；(2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由；(3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标；(3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．5．如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点．在平面直角坐标系中：(1)如图2，已知点，点在直线上．①若点，点，则在点O，C，A中，点__________是关于点的内联点；②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围；(2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，请求出当点落在第四象限时的最大值．6．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．(1)如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若，AC＝12，求FG的长；(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，，求y与x之间的函数关系式．7．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．(1)求抛物线的解析式；(2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围；(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．8．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．10．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求；②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．11．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．12．二次函数（、、是常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，图象顶点为点，经过点、、三点，且．(1)求证：为等边三角形；(2)若，求的面积；(3)若直线与相切．求的值．13．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为的环绕点．(1)当半径为2时，①在中，的环绕点是；②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；(2)的半径为，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．14．直线分别与x轴y轴相交与A，B两点，原点O及A，B两点，C是上一点，连接交于点D，．

(1)证明：．(2)直线上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上．(1)求的值．(2)求的半径．(3)过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标．参考答案1．(1)(2)(3)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键；（1）利用待定系数法即可得出答案；（2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论；（3）设点P坐标为，则设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，得，∴，∴；（2）连接、，过点P作，交于点D．由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则∴，∴设点P坐标为，则，则当时，的最大值为8．∴，∴，∴最大．（3）设点P坐标为，则设的半径为r．∵与相切，切点为T．∴∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等∴，∴∵，∴，∴的半径是常量．2．(1)，.(2)存在，(3)【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．【详解】解：（1），点坐标为，将，代入，得，，解得，（2）设直线的表达式为，由（1）可知抛物线的表达式为，故点坐标为，直线的表达式为设点坐标为，则，，，若，则，解得，，故，此时点坐标为；（3）如图，取，连接，，，，又，，，，，，故的最小值为．【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键．3．(1)(2)(3)见解析【分析】（1）连接，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解即可；（2）当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，计算即可得出答案；（3）设抛物线上任意一点为，设到轴的距离为，证明，可得结论．【详解】（1）解：连接，，设，∵与相切于点，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得，∴；（2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为；（3）证明：设抛物线上任意一点为，∴，设到轴的距离为，由题意得：，∴，∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”．【点睛】本题考查圆与二次函数综合、勾股定理、切线的性质、分线段成比例定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．4．(1)(2)(3)相交，证明见解析【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识；（1）已知抛物线交轴于，交轴于、两点坐标分别为，，把以上三点的坐标分别代入抛物线，求出，，的值即可求出此二次函数的解析式；（2）过点作轴与点，设，再证明即可求解；（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的解析式及、的坐标，分别求出线段、、的长度，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【详解】（1）抛物线交轴于，交轴于两点坐标分别为，，解得抛物线的解析式为：；（2）过点作轴与点．点在抛物线上，设点坐标为．，，，，，，，．解得：或（舍去）．．点的坐标为．（3）相交．证明：连接，则，抛物线交轴于两点坐标分别为，．对称轴，，，，，，，，即，解得：，，抛物线的对称轴与相交．5．(1)①，；②(2)【分析】（1）①分别以为圆心，，，为半径作圆，观察图象根据线段与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与直线的公共点都在线段上，此时点是关于点的内联点，当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，利用图象法即可解决问题．（2）如图3中，过点作轴于，过点作轴于．利用相似三角形的性质及全等三角形的性质及判定，结合图象法可得结论．【详解】（1）解：①如图1中，根据点为关于点的内联点的定义，观察图象可知，点，点是关于点的内联点．故答案为：，．②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点是关于点的内联点，当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，观察图象可知，满足条件的的值为．（2）解：如图3中，过点作轴于，过点作轴于．，，，，点在第四象限，当时，设交于，，，，，，，，在中，则有，解得，，，∵轴,,∴,∵，∴，∴即,解得，∵关于点的内联点存在，∴观察图象可知，满足条件的的最大值为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了点为关于点的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题．6．(1)∠B＝60°(2)证明见解析(3)GF＝5(4)【分析】（1）作AH∥CD交BC于H．可证得四边形ADCH是菱形，再结合四边形ABCD是等邻边互补四边形，可得到△ABH是等边三角形即可．（2）证明DA=DC，∠B+∠ADC=180°即可．（3）连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥CG于M，FN⊥AG于N．根据勾股定理和垂径定理，求出AG，GC，EG，证明点F是△AGC的内心，求出EF即可解决问题．（4）如图3中，连接AC，作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，设AC交BD于K．根据AM∥FN，可得，设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n，根据直角三角形的性质可，即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，作AH∥CD交BC于H．∵AD∥BC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ADCH是菱形，∴AD=CD=AH=CH，∠D+∠C=180°，∵BC＝2AD，∴BC=2CH，即BH=CH=AH，∵四边形ABCD是等邻边互补四边形，∴∠B+∠D=180°，∴∠B=∠C，∵AH∥CD，∴∠AHB=∠C，∴∠B=∠AHB，∴AB＝BH＝AH，∴△ABH是等边三角形，∴∠B＝60°．（2）证明：如图2中，连接CD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD=180°，∵AE＝EC，∴OD⊥AC，∴DA＝DC，∴四边形ABCD是等邻边互补四边形．（3）解：如图2﹣1中，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥CG于M，FN⊥AG于N．∵E是AC的中点，AC=12，∴AE＝EC＝6，∴OD⊥AC，，∴∠AOE＝∠COE，GA＝GC，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOE＝∠ABC，∴，∴，∴，∴，∴，∴GE=8，∴，∴，∵，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠AGF＝∠CGF，∴点F是△AGC的内心，∴FM＝FN＝FE，设FM＝FN＝FE＝d，∵，∴d＝3，∴EF＝3，∴GF＝EG﹣EF＝8﹣3＝5．（4）解：如图3中，连接AC，作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，设AC交BD于K．∵BD是直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵BA＝BC，BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴∠ABD＝∠CBD，∵OA＝OB，∴∠BAF＝∠ABD＝∠CBD，设∠BAF＝α，则∠BCF＝∠BAF＝α，∵BA＝BC，∠DBA＝∠DBC，∴BD⊥AC，∠BKC＝90°，∴∠ACM+∠CBD＝90°，∵AM⊥BC，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠CAM＝∠CBD＝α，∵AM⊥BC，FN⊥BC，∴AM∥FN，∴，设OK＝m，AK＝n，OB＝OA＝r，则CF＝2m，AC＝2n，在Rt△AOK中，m2+n2＝r2，，∴，∴，整理得：，∴，∴．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．(1)(2)(3)CI的最小值为【分析】（1）利用顶点式求抛物线的解析式；（2）由已知并结合函数图象可得：，求解即可；（3）连接DI，AI，OI，根据内心定义得到∠DIA=135°，证明，得到∠OIA=∠DIA=135°，确定I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，求出N（2，－2），连接NC得到，当C、I、N三点共线时，CI最小，即可求出CI的最小值．【详解】（1）设抛物线的解析式为，将C（0，4）代入，得．∴，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又，时，均有，结合函数图象可得：，解得：；（3）连接DI，AI，OI，∵I为△ADG的内心，所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI，又∵IA=IA，DA=OA，∴，

∴∠OIA=∠DIA=135°，∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，又A（4，0），OA=4，

∴在等腰Rt△AON中，，∴N（2，－2），，连接NC，∴，∴当C、I、N三点共线时，CI最小，∴CI的最小值为．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，待定系数法求抛物线的解析式，三角形内心的理解，三点共线问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．8．(1)45°(2)①（4，0）或（8，4）；②【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数；（2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，由AH＝4=OH＝BH，得到坐标为（4，0）．连接，由，，得到坐标为（8，4）；②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题．【详解】（1）∵，点B为抛物线顶点，∴点B的坐标为（4，－4）．作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，∴∠AOB＝45°．（2）①，解得，，∴A点坐标为（8，0）．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，∵⊙A半径为4，AH＝4，∴点H在⊙A上，此时OH＝BH，∴点H与点重合，∴坐标为（4，0）．连接，∵，，∴，则坐标为（8，4），综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）．②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，∵点N为OM中点，∴．如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，∵点A、D横坐标相同，∴此时MD⊥x轴，∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4，∴，∴．【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．9．(1)(2)是，45°(3)【分析】（1）根据解析式，可直接表示出A（0，m），B（m，0），即可求出AB长度，由此即可求出⊙G的半径；（2）根据P、Q分别为弧AC弧BC的中点，可知，，即，可得POQ＝45°为定值；（3）延长FE交y轴于H，取最大值时，C为上半圆AB的中点，易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点，可证得，即EF∥AB，可知，，，由（2）可知，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º，易得，即：以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，△EFC外接圆的面积为，可知，代入即可求得结果．【详解】（1）解：由题意可知A（0，m），B（m，0），∵∠AOB=90°，∴在中，有勾股定理得：，∴，即：⊙G的半径长为；（2）POQ＝45°为定值．证明：连接OC，∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，∴弧AP＝弧PC，弧CQ＝弧QB，∴，．∴即POQ＝45°；（3）延长FE交y轴于H，∵取最大值时，C为上半圆AB的中点，∴弧AC＝弧BC，AC＝BC易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点．又∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，∴PO、QO分别为∠AOC、∠BOC的角平分线，∴，．即，∴EF∥AB，∴OC⊥AB，OC⊥EF，∴，∵OH＝OA＋AH＝OA＋AE，∵，∴，．∵由（2）可知，，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º，易得，∴以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，△EFC外接圆的面积为，∴，∴原式所以的最小值为．【点睛】本题主要考查的是圆与一次函数，与几何图形的综合，灵活运用所学知识是解题关键．10．(1)(2)①；②存在，或或或(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或．（3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案．【详解】（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有，解得，，∴拋物线的解析式为．（2）解：①法一：∵抛物线解析式为，∴，把代入，得，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴是外接圆的直径，设的中点为F，∴圆心，∵，，∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同∴，∴，过E作于H，∵，∴，，∴，，∴，∴在中，；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同法一：可得是外接圆的直径，，，∴∴，∴，，∴，∴，∵是直径，∴，∴．②，，，，在中，，在中，∴，∴，又∵点N在射线上，∴为锐角，要使得与相似，情况1：，∴，∴，∴在中，，∴，∴：，又∵与相似，∴或∴或，∴或，∴或，过点P作轴于Q，∴，即，由勾股定理得，∴或，解得或，当时，，则，∴；当时，，则，∴；情况2：，∴，∴，又∵与相似，∴或∴或，∴或∴或，同理可得或．……综上所述，点P的坐标为或或或．（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，即，∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，∴此时，∴，同理可得当取时，是直角三角形，即，∵为锐角，且，∴，∴或．【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，解直角三角形，勾股定理与勾股定理得逆定理，相似三角形的性质等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．11．(1)(2)在圆上，理由见解析(3)【分析】（1）根据题意以及一次函数的性质得出，，设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据，，，勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据直角所对的弦是直径，即可求解；（3）设，将B代入得，则，证明，得出，，进而求得设，根据构造方程，解方程得出，进而待定系数法求解析式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为．令，解得：∴，∵点的横坐标为．令，解得：∴，设抛物线的表达式为，将，，代入得∴∴抛物线的表达式为：，（2）连接AM，根据，，∴∴是直角三角形，且∴点在以为直径的圆上；（3）设将B代入得

，∴

连接，，，，，，设，将代入得，，，设，由，∴，解得

，(舍去)，∴，∴，∴，设直线的表达式为：，将，代入得，

，解得

，∴设直线的表达式为【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．12．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）不妨设（时情况类似），由抛物线的对称性知，且平分，则，由，得，即，从而问题得证；（2）求出抛物线与x轴两个交点的距离及顶点坐标，设直线交轴于点，则可分别求得，由可求得，则可得，即可求得的面积；（3）设直线切于点N，与抛物线对称轴交于点F，连接，设圆的半径为r；则可得，另一方面可得，即有；由题意得都是等腰直角三角形，则易得，，，即，消去r，即可得与的关系，而，由此可求得结果．【详解】（1）证明：不妨设，连接，如图所示，（时情况类似），

依题意，得，且平分，∴，，，∴，为等边三角形；（2）解：时，二次函数的解析式为：，当时，，设，由求根公式得：，，则，∵抛物线对称轴为直线，∴当时，，故顶点，如（1）中图，设直线交轴于点，

为等边三角形，，，，，∴，，，，，，，，故；（3）解：设直线切于点N，与抛物线对称轴交于点F，连接，设圆的半径为r，如图；

由（2）知，，则，∴，设的两个解为，由求根公式得：，，则，∴；∵直线是二、四象限的角平分线，∴，∵，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，，∴，即，∴，即，∵，且，∴．【点睛】本题考查二次函数综合、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数关系、等腰直角三角形的性质、勾股定理，圆的切线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题．13．(1)①，；②满足条件的的值为或；(2)．【分析】（1）①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，，当时，可证，以为圆心，为半径作，首先说明：当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），利用这个结论解决问题即可；②如图中，设小圆交轴的正半轴于．求出两种特殊位置的值，结合图形根据对称性解决问题即可；（2）如图中，不妨设，则点在直线时，以，为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，观察图象可知，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上，利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的值即可解决问题．【详解】（1）解：①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，，当时，平分，，，，，、以为圆心，为半径作，观察图象可知：当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），

如图中，以点为圆心，2和4为半径画同心圆，观察图象可知，，是的环绕点，故答案为：，；②如图中，设小圆交轴的正半轴于，

当直线经过点时，，当直线与大圆相切于（在第二象限）时，