2025年中考数学总复习《二次函数中面积的存在性问题》专项检测卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《二次函数中面积的存在性问题》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．如图，抛物线y=12x2+32x−2与①点A,B的坐标分别是−4,0和1,0②点P为0,m，当∠APB<90°时，m<−2．③抛物线上存在点E（除C外），使得△ABE的面积与△ABC面积相等的点E有3个．④点F是抛物线对称轴上一点，当△ACF是直角三角形时，点F的纵坐标分别是5,−5,19A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AD，CD上的点（不与A，D，C重合），其中DE=DF，过点E，F分别作BD的平行线交AB，BC于G，H两点，顺次连接E，F，H，G四点．甲，乙，丙三位同学给出了三个结论：甲：随着DE长度的变化，可能存在EG=FH=1乙：随着DE长度的变化，四边形EFHG的面积存在最大值，不存在最小值；丙：当四边形EFHG的面积是菱形ABCD的面积的一半时，四边形EFHG一定是正方形．下列说法正确的是（）A．甲，乙，丙都对 B．甲，丙对，乙不对C．甲，乙对，丙不对 D．甲不对，乙，丙对二、填空题3．如图，已知抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P4．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C，若在抛物线上存在一点P（与点C不重合），使5．如图，点A、B在y=14x2的图象上.已知A、B的横坐标分别为−2、4，连接OA、OB.若函数y=14x2的图象上存在点P，使三、解答题6．如图，已知二次函数y=x2+2x−3的图象与x轴交于A、B7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线y=12x2+x﹣3（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．9．如图，二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=1，图象与x轴相交于点A−1,0和点B，交（1）求此二次函数的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当△BOC∽△APB时，求点P的坐标（请在图1中探索）；（3）二次函数图象上是否存在点M，使△ABC的面积S1与△ABM的面积S2相等？若存在，请求出所有满足条件的点10．如图1，抛物线y=−x2+3x+4和直线y=x+1交于A，B两点，过点B作直线BC⊥x（1）求∠BAC的度数．（2）如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线BC上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线y=x2+bx经过点P1,3，抛物线的顶点为点C，点A在抛物线上，横坐标为m，点B（1）求抛物线解析式；（2）当点B落在抛物线上时，求点A的横坐标；（3）若m<1时，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2−m时，求m的值；（4）连结BA并延长交抛物线对称轴于点D，以DB、BC为邻边作▱DBCM，若▱DBCM的边和抛物线只有三个交点（不包括点A），设其中两个交点（不包括▱DBCM的顶点）分别为点E、点F．当以点C、E、A、D（或以点C、F、A、D）为顶点的四边形的面积是▱DBCM面积的14时，直接写出所有满足条件的m12．抛物线C1：y=ax2（1）求抛物线C1（2）点P为抛物线C1在第一象限内一点，若∠ACO=∠PCB（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位，得到新的抛物线C2，直线y=kx−1k>0交抛物线C2于M，N两点，直线MP，NP与抛物线C2都只有唯一公共点，直线MP，NP13．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A−1,0、B3,0、C0,3三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线y=ax2+bx+6（1）求抛物线解析式及其顶点坐标；（2）已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段BC,OC上，若四边形CDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比；（3）点C与点P关于x轴对称，连接PD交线段BC于Q，若S△APQ15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2﹣2（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，抛物线y=x2的顶点在直线AO上运动，与直线x=2交于点P，设平移后的抛物线顶点M的横坐标为m．（1）如图1，若m=﹣1，求点P的坐标；（2）在抛物线平移的过程中，当△PMA是等腰三角形时，求m的值；（3）如图2，当线段BP最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．下图是二次函数y=(x+m)2+k(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=5(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为195（1）图中，∠OCE等于多少；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=12S△CDE20．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A−6,0，B（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（3）设2中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=115S△ABC22．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22+1）倍.若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．24．如图如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=−12x+4（1）求二次函数的表达式；（2）如图（2），点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB（3）如图（3），在（2）的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP//y轴，交抛物线于P，∠AQD=∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长.25．如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．26．如图（1），二次函数y=ax2−5x+c的图像与x轴交于A(−4，0)，B(b（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M，使S△BOM=1（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E'是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E'，线段AE的对应线段为A'E'，连接E'C，A'27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接BC，点D在直线BC上方的抛物线上，过点D作BC的垂线交BC于点E，作y轴的平行线交BC于点F．若CE＝3EF，求线段DF的长；（3）直线y＝﹣x+m（m＜4）与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线PC与直线BQ的交点为S，△OCS的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．28．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线AB相交于A（1）求这条抛物线的解析式；（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．四、实践探究题29．【发现问题】如图1，在一根4cm长的铁丝AB上任取一点C弯折后，再连接AB形成△ABC（如图2)，当点C在不同位置及∠C取不同的大小时，△ABC的面积也不同．【提出问题】△ABC的面积是否存在最大值？【分析问题】由于点C的位置及∠C的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设AC=xcm，S△ABC=y【解决问题】（1）如图3，当∠C=30°时，试求y与x的函数关系式，并判断此时△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，AC的值为多少？（2）当∠C=90°时，S△ABC记为y1，当∠C=135°时，S△ABC记为y2，若存在一个AC的值，使得（3）△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的∠C多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】0,2，3,24．【答案】2,−5或−4,−5．5．【答案】46．【答案】点P的坐标为22−1,4或−27．【答案】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），

∴1+b+c=0c=−3，解得b=2c=−3．

∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．

（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：

∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．

∴A（1，0），B（﹣3，0）．

∴AB=4．

设P（m，n），

∵△ABP的面积为10，∴12AB•|n|=10，解得：n=±5．

当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．

∴P（﹣4，5）（2，5）．

当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．8．【答案】解：（1）令y=0，则12x2+x﹣3解得x1=﹣3，x2=1，∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x=﹣1，令x=﹣1，则y=12﹣1﹣3∴P点坐标为（﹣1，﹣2），∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），把E（a，2）代入抛物线的解析式得，12a2+a﹣32=2，解得a=﹣1﹣22或﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣22，2）或（﹣1+22，2）．（3）所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．9．【答案】（1）y=（2）点P的坐标是(1,2)或(1,−2)（3）存在，点M的坐标是(2,−3)，(1+10．【答案】（1）∠BAC=45°（2）①当t=65时，矩形PQNM的面积最小：165；②t=11．【答案】（1）y=（2）点A的横坐标m=±（3）−1+52或−2（4）−3+233或−3−23312．【答案】（1）y=（2）点P的坐标4,5（3）k=213．【答案】（1）y=−x2+2x+3；（2）存在，G1,3或1,−3或1,13或1,−114．【答案】（1）抛物线解析式为y=−12（2）1:1（3）D15．【答案】解：（1）当x=0时，y=23x2﹣23x﹣4=﹣4，当y=0时，有23x2﹣23x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，3k+b=0b=−4，解得：k=∴直线BC的解析式为y=43过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣35t，﹣4∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=45∴S△PBQ=12PB•QE=﹣45t2+2t=﹣45（t﹣54）∵﹣45＜0，∴当t=54时，△PBQ的面积取最大值，最大值为（3）当△PBQ面积最大时，t=54此时点P的坐标为（12，0），点Q的坐标为（9假设存在，设点M的坐标为（m，23m2﹣23m﹣4），则点F的坐标为（m，∴MF=43m﹣4﹣（23m2﹣23m﹣4）=﹣2∴S△BMC=12MF•OB=﹣m2∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=54×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣83​​​​​​​16．【答案】解：（1）把三点代入抛物线解析式0=a−b+c0=9a+3b+c即得：a=−1b=1所以二次函数式为y=﹣x2+2x+3；（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则顶点P（1，4），由B，C两点坐标可求直线BC解析式为y=﹣x+3，设过点P与直线BC平行的直线为：y=﹣x+b′，将点P（1，4）代入，得y=﹣x+5，则过点P与直线BC平行的直线与抛物线联立，有则存在点Q，﹣x2+2x+3=﹣x+5，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，代入直线则得点（1，4）或（2，3），已知点P（1，4），所以点Q（2，3），由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=﹣x+f，将P′代入，得y=﹣x+1，联立y=−x+1y=−x2+2x+3，解得∴Q（2，3）或（3−172，−1+172）或Q（（3）由题意求得直线BC代入x=1，则y=2，∴M（1，2），由点M，P的坐标可知：点R存在，即过点M平行于x轴的直线，则代入y=2，则﹣x2+2x+3=2，整理得x2﹣2x﹣1=0，解得x=1﹣2（在对称轴的左侧，舍去），x=1+2，即点R（1+2，2）．17．【答案】解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，∵A（2，4），∴2k=4，∴k=2，∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．由题意，把x=﹣1，代入得，y=﹣2，∴抛物线的顶点M（﹣1，﹣2），∴抛物线解析式为：y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，当x=2时，y=7，∴点P（2，7）；（2）如图1，在抛物线平移的过程中，设顶点坐标（m，2m）当△PMA是等腰三角形时，∴有PA=PM，由点A（2，4），可求：tan∠A=12，cos∠A=255，过点M作MN垂直于直线x=2，过点P作PH⊥AM，连接MP，抛物线解析式为：y=（x﹣m）2+2m，当x=2时，y=m2﹣2m+4，此时，MN=2﹣m，AN=4﹣2m，AP=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m，∴AH=AP×255=−25m2+45m5，AM=2AH=−45m2+85m5，∴ANAM=255，代入解得：m=54，或m=2（舍去）∴m=54；（3）如图2，∵顶点M的横坐标为m，且在直线OA上移动，∴y=2m．∴顶点M的坐标为（m，2m）．∴抛物线函数解析式为y=（x﹣m）2+2m．∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4．∴点P的坐标是（2，m2﹣2m+4）．∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴当m=1时，PB最短．当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2即y=x2﹣2x+3．假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．设点Q的坐标为（x，x2﹣2x+3）．①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是（0，﹣1），∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为y=2x﹣1，∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x﹣1上，∴x2﹣2x+3=2x﹣1，解得x1=2，x2=2，即点Q（2，3），∴点Q与点P重合，∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等，②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线DE函数解析式为y=2x+1，∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x+1上，18．【答案】解：（1）因为M(1, −4)是二次函数y所以y=(令x2解之得x1=−1，∴A，B两点的坐标分别为A(−1, 0)，B（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△设P(则S△又∵S△∴2|y∵二次函数的最小值为−4，∴y=5当y=5时，x=−2或故P点坐标为(−2, 5)或(4, 5)；（3）如图，当直线y=x+b经过A(−1, 0)时−1+故可知y=x+当直线y=x+b经过点B(3, 0)由图可知符合题意的b的取值范围为−3<b<1时，直线19．【答案】解：（1）∵△CDE绕点C旋转到△CBO，∴∠OCE=∠BCD；故答案为BCD；（2）作CH⊥OE于H，如图，∵△CDE绕点C旋转到△CBO，∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，∴OH=HE=1，∴OE=2，∴E点坐标为（2，0），设B（m，0），D（195，n），∵CD2=（1﹣195）2+（﹣2﹣n）2，CB2=（1﹣m）2+22，DE2=（2﹣195）2+n2，∴（1﹣195）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22，（2﹣195）2+n2=m2，∴m=3，n=﹣125，∴B（3，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=12，∴抛物线解析式为y=12（x﹣1）2﹣2，即y=12x2﹣x﹣32；（3）存在．A与点B关于直线x=1对称，∴A（﹣1，0），∵△CDE绕点C旋转到△CBO，∴△CDE≌△CBO，∴S△CDE=S△CBO=12•2•3=3，设P（t，12t2﹣t﹣32），∵S△PAE=12S△CDE，∴12•3•|12t2﹣t﹣32|=12•3，∴12t2﹣t﹣32=1或12t2﹣t﹣32=﹣1，解方程12t2﹣t﹣32=1得t1=1+6，t2=1﹣6，此时P点坐标为（1+6，1）或（1﹣6，1）；解方程12t20．【答案】（1）y＝－x2+2x+3，y＝-x+3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3）21．【答案】（1）y=−43x−8；（2）y=−x2−6x−8；（3）这样的P22．【答案】（1）y=−x2+2x+3；（2）存在这样的P点，且坐标为：(10+1，−6)，(23．【答案】（1）解：如图①，∵A（-2，0）B（0，2）∴OA=OB=2∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=22∵OC=AB∴OC=22，即C（0，22）又∵抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A、C两点，则可得：−42−2m+n=0n=22解得：m=−2n=22∴抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22（2）证明：∵OA=OB∠AOB=90°∴∠BAO=∠ABO=45°又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF∴∠BEF=∠AOE（3）解：当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°又∵∠AOB＝90°则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立.②如答图②，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°，在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO∴∠BEF=∠BAO=45°又∵由(2)可知，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO∴BF=EF∴EF=BF=OF=12OB=12×2＝1∴E(-1，1)③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF∴△AOE≌△BEF∴BE=AO=2∵EH⊥OB∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB∴EH∥AO∴∠BEH=∠BAO=45°在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°∴EH=BH=BEcos45°=2×22=2∴OH=OB-BH=2-2∴E(-2，2-224．【答案】（1）解：y=−1把B，C两点坐标代入二次函数，得：0=−1解得，b=二次函数的表达式为：y=−（2）解：令y=0，代入y=−14x2+∴A(-2，0)，由A、B、C点坐标得：AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，过点D作DL⊥CB交BC于L点，∵S△DCB＝S△ABC，∴DL＝AC，又∵DL∥AC，∴四边形DLCA为平行四边形，又∠ACB＝90°，∴四边形DLCA为矩形，∴∠CBA＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠CBA＝COBO设点D的坐标为（m，n），则n=−14m2+32m+4，…联立①②解得：m＝10或m＝−2（舍去），则D（10，−6）（3）解：如下图：设直线CD与x轴交于R，过点D作DM⊥x轴，DT⊥y轴，∵C（0，4），D（10，−6），∴直线CD所在的方程为：y＝−x＋4，令y＝0，则R（4，0），∴OR＝OC＝4，∴∠RCO＝45°，∴∠ACO＋∠DCB＝90°−45°＝45°，又∵∠CDA＝∠DCB，∴∠AQD＝∠ACO＋∠ADC＝∠ACO＋∠DCB＝45°，∵四边形DLCA为矩形，则△AQD为等腰直角三角形，∴AQ＝AD，又∵∠DAB+∠QAN＝∠AQN+∠QAN=90°，即：∠DAB=∠AQN，∴Rt△AQN≌Rt△ADM（AAS），∴AN＝DM＝6，QN＝AM＝12，∴N（−8，0），把x＝−8代入二次函数表达式，解得P（−8，−24），则PQ＝PN-QN=24-12=12.25．【答案】（1）解：由题意，点B的坐标为（0，2），∴OB=2，∵tan∠OAB=2，即OBOA∴OA=1．∴点A的坐标为（1，0）．又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A，∴0=12+m+2．解得m=﹣3，∴所求二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2（2）解：作CE⊥x轴于E，由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得点C的坐标为（3，1）．由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，设出解析式为y=x2﹣3x+c，代入C点作标得1=9﹣9+c，c=1，所求二次函数解析式为y=x2﹣3x+1．（3）解：由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线x=32不变，且BB1=DD1∵点P在平移后所得二次函数图象上，设点P