2025年中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音．(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；(2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？2．如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．3．如图，在中，，是边上的中点，．(1)求的大小；(2)若，，求的周长．4．如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接．(1)若，求的周长；(2)分别过点作于、于，若，，求的长．5．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点．(1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．①求证：．②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．(2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明．6．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒．(1)当时，；当时，．(2)当点N在上时，；当点N在上时，（分别用含t的代数式表示）．(3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由．(4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由．7．如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点．(1)求证：；(2)求证：．8．“腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆及扶手平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手恰好组成等腰三角形，此时拉钩E与扶手的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆距地面的高度为，天花板顶部E距地面，若，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到．参考数据：，，）9．【问题探究】（1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积；【问题解决】（2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长．10．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D．(1)求的正弦值；(2)求点C到直线的距离．11．如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为．(1)______cm；(2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值；(3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______；(4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______．12．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且．(1)求证：；(2)若等边的边长为6，求的长；(3)求证：；(4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．13．如图，，点D在边上，，和相交于点O．(1)试说明的理由；(2)若，过点E作，垂足为F，试判断和的数量关系，并说明理由．14．如图，是等边三角形，D是边上一点（不与点重合），将绕点A逆时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)过点D作，垂足为G．求证：．15．在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点A，C关于y轴对称，点B为y轴正半轴上一点．(1)如图1，若为等腰直角三角形，，直接写出点B的坐标是（用t表示）；(2)如图2，在（1）的条件下，点D，F为直线上两点，于H交于E，延长交于G，求证：．(3)如图3，点在点C左侧，以为底边在x轴下方作等腰直角，点H坐标为连接，猜想的度数，并证明．参考答案1．(1)监测点与宣传车的起始位置之间的距离为500(2)庆庆家能听到8min的宣传车声音【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求解即可；（2）根据的面积求得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．根据勾股定理求得的长，进而得到的长，即可求出听到宣传车声音的时间．【详解】（1）解：，，，．答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为．（2）解：，，，，．如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．在中，，．宣传车的行驶速度为，．答：庆庆家能听到的宣传车声音．2．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解．【详解】（1）证明：为边上的中线，在与中，，；（2）解：，，，为边上的中线，，，．3．(1)(2)【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．（1）由等边对等角可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，即可得解；（2）由等腰三角形的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，点D是的中点，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴的周长为．4．(1)(2)【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质．（1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答；（2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答．【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，∴，∴的周长为，∵，∴的周长为；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．5．(1)①见解析；②存在，(2)，证明见解析【分析】（1）①证出．，则可得出结论；②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论；（2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论．【详解】（1）解：①∵，∴为等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在．证明：如图，作点D关于点O的对称点K，连接，∴，，∴，∴．∵点D关于点P的对称点为Q，∴，∴．∴，∴，∴，．∵∴∵点P在x负半轴上，∴，∴存在这样的点，使得对于任意的点D，总有成立．（2）解：证明连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．由C为的中点，∴，，∴和都为等腰直角三角形．又，∴，，∴，∴．，，∴为等腰直角三角形．∴．∵．∴．由点D与点M关于y轴对称，∴，，，∴；∵，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．(1)；(2)；(3)t为4.5或5时，是直角三角形；理由见解析(4)或或或【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识．（1）根据等边三角形的性质和路程解答即可；（2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可；（3）由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可；（4）分四种情形，分别画出图形，构建方程求解．【详解】（1）解：当，，，当时，点M经过的路程为，，故答案为：；；（2）解：当点N在上时，；当点N在上时，；故答案为：；；（3）解：t为4.5或5时，是直角三角形；理由如下：由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．∴或，综上所述，t为4.5或5时，是直角三角形；（4）解：t为或或或时，线段的垂直平分线经过的某一顶点；理由如下：如图1中，当线段的垂直平分线经过点A时，，解得；如图2中，当线段的垂直平分线经过点B时，，解得；如图3中，当线段的垂直平分线经过点C时，，解得；如图4中，当线段的垂直平分线经过点A时，，解得．综上所述，满足条件的t的值为或或或．7．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据题意证明，即可求解；（2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，，，，，，，，；（2）证明：设与交于点，，，，，，，∴，，，又，，，，，，，即，，．8．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，先根据题意得出，再解直角三角形得出，最后求出结果即可．【详解】解：由题意，可得，∵，B为的中点，∴，∴，在中，∵，，∴，∴答：两根拉绳的总长度至少为．9．（1）；（2）18米或25米或30米【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质：（1）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可；（2）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三种情况讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）∵，∴，∴，∵米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴米，当米时，则米，当时，则，∵，∴，∴，∴米；当时，过点E作于M，则，∵，∴米，∴米，∴米；综上所述，的长为18米或25米或30米．10．(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义．（1）过点作于点．由等腰三角形三线合一的性质得出．在中，根据正弦函数的定义得出，根据三角形内角和定理求出，则；（2）过点作于点．解直角，求出，则．再解直角，求出，即点到的距离为．【详解】（1）解：过点作于点．，，．在中，，，，是的垂直平分线，，，，又，，，即的正弦值为；（2）解：过点作于点．在中，，，，，．在中，，，，即点到的距离为．11．(1)(2)(3)或(4)4或【分析】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算．（1）根据勾股定理，可以求出的长；当点运动到，根据三角形面积，求出，根据勾股定理，求出，即可求出；（2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出；（3）当运动到边时，，过点作，根据三角形面积，得，根据勾股定理，求出，根据等腰三角形三线合一，求出，得，得点的运动距离为：，即可求出．（4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解.【详解】（1）∵，，，∴∴的长度为：cm．（2）过点作于点∴∵平分∴∵在和中∴∴∵∴∴∴，∴∴．（3）①∵当运动到边时，，∴点运动的路程为：，∴．②∵当运动到边时，，如图，过点作∴，∵∴∴在中，∴∴∴∴∴点的运动距离为：∴．综上所述：点运动过程中，使得，的值为或；（4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，如图：①当点与点重合时，，,②当时，设，∵，，∴，∴，解得：，∴．综上所述：的值为或．12．(1)见解析(2)(3)见解析(4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论；（2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可；（3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论；（4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，，，；（2）如图，过作于，，．等边的边长为6，，，，，，．．；（3）证明：如图2，过作交于点．，又，是等边三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的结论仍然成立．证明如下：如图，过作交的延长线于，则，，是等边三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键．13．(1)见解析(2)，见解析【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．（1）由三角形内角和定理结合题意可证，从而可证，即可证；（2）由全等三角形的性质可推出，从而由等腰三角形的性