(培优)经典讲义菱形、矩形、正方形

cm2．第第9题第8题第8题第7题8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2．10.（2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝．第11题第11题第10题11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是．三、解答题12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF。AADFEBC13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．14.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．15.（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．板块二、菱形的判定【例1】如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【例3】已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于、.求证：四边形是菱形.【例4】如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．【例5】如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．【作业】1．有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。2．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为cm，边长为cm，高为cm。3．菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为。ABCDEFABCDEF图3ABDEFC图2ABDEFC图2ABCDE图16．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．8倍7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．每条对角线平分一组对角8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A．已知菱形的两条对角线B．已知菱形的一边和一个内角C．已知菱形的四条边D．已知菱形的周长和面积10．下列命题正确的是（）A．有两组邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形11．菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。12．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：∠AFD=∠CBE。AABCCDCEF13．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG⊥AB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15．如图，已知BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BC于E，交BD于F，∠FAG=∠FAD。连结EG、ED，求证：四边形AGED为菱形。AABCDEFG16．如图5所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F为垂足，FG⊥AC，EH⊥AB，且交于Q，G、H为垂足，求证：四边形DEQF为菱形。AABCDEFGHQ图517．如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数。AABCDEF1.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（） A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？4.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）5、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．求证：四边形DEBF是菱形；6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．求证：四边形AODE是菱形；矩形知识梳理：1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．【例题精讲】(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）

A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行(2)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝___________cm，BC＝___________cm．(3)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．(4)矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．(5)如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________．(6).矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________【矩形的判定】【例1】如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．【例2】如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形．【例3】如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．【例5】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．⑴、求证：．⑵、如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【例6】已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．【矩形的性质及应用】【例7】如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即 .(写出一条线段即可)【例8】如图，在矩形中，分别是上的点，且.求证：≌.【例9】如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（）A． B． C． D．【例10】矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是．【例11】如图，矩形中，对角线、交于，于，，则_______．【例12】如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则【例13】如图所示，在长方形中，点是边的中点，点是边的中点，与交于点．若，求的度数．【例14】如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则与的关系式【例15】如图，在矩形中，点分别在边上，，若且，则阴影部分的面积为【例16】如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知，且，求的长【例17】已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：【例18】如图在矩形中，已知，，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值．【例19】已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：．课后作业1.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）A．22 B．26 C．22或26 D．282．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）A、22.5°B、45°C、30°D、60°3.FBFBEDCAE、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A、B、C、D、4．矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对图15．如图1，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）图1（A）400cm2 （B）500cm2（C）600cm2 （D）4000cm26．如图，△ABC中，∠ACB=900，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形；7、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形。正方形1．正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。2．正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的一切性质（1）边：对边平行四边相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组内角3．正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）有一个角是直角的菱形是正方形（3）对角线相互相垂直平分且相等的四边形是正方形（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。【经典例题】ABCDP例1．已知，如图，P是正方形ABCD内任一点将绕点B顺时针方向施转至，若PB=3cm，求的长。ABCDP例2．如图：已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，求证：DG=BEAABCDGFE例3．如图，在正方形ABCD中，E为内部一点且是正三角形，求的度数AABCDE例4．如图：正方形ABCD，AE+CF=EF，求证：AAEBFCD【练习】1．若正方形的面积为4，则它的边长为，对角线长为。2．把边长为1的正方形对折n次，所得图形面积是。3．边长为5的正方形的各边长比为。4．已知正方形ABCD中，E是BC上的一点，DE=2，CE=1，那么正方形ABCD的面积为（）A、B、3C、4D、55．正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于（）A、1：B、：1C、1：2D、2：16．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．7．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）8．如图：在正方形ABCD中，CF=CE，求证：AAACFDGE9．如图，已知锐角中，以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG连接CE、BG，交点为O，求证：（1）EC=BG；（2）AABCDEGFO8．在正方形中，O对角线AB、BD的交点，过O作，交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，求EF的长。AABCDEFO9．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF求证：EA⊥AF．27题图27题图10.正方形ABCD中，AE=CF，则四边形BEDF是菱形吗？请说明理由。（5′）11（5′）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC与E，DF∥AB交AC于，请判断四边形AEDF的形状，并说明理由。28题图E28题图12（12′）.在正方形ABCD的边上各取一点E、F、G、H，并顺次连结得到四边形EFGH。⑴问点E、F、G、H怎样取，可使EFGH为正方形？⑵设AE=a,AH=b,EH=c，求证：a2+b2=c2ＡＮＤＣＭＢＥ1、如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,（1）求ＡＮＤＣＭＢＥ2、正方形中，，则（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3.在△ABC中，AB=CD，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为EF.(1).试说明：DE=DF;(2).只添加一个条件使四边形EDFA是正方形，请你写出至少两种不同的的添加方法（不另外添加辅助线，无须说明理由）ＡＡＢＣＤＥＦＧ4.如图所示，在正方形中，为上一点，延长至，使，连结与相交于，则下面结论错误的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．ＡＡＢＥＤＯＧＦ21C5、如图，正方形中，对角线交点为为上的一点，于，交于．求证：．6.为美化环境，某单位须在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：（1）四块图形的形状相同，（2）四块图形的面积相同.按照上述要求，分别给出四种不同的分割方法。ＡＡＤＣＢＯＭＥＮ7.如图，正方形的对角线相交于点，点在和上，且，连结．请说明：且．四边形基础知识达标训练一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．2：2：1：1D．2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．等腰梯形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等4、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）A．AO＝OC，OB＝ODB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BDD．AO＝OC＝OB＝OD5、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）中中点中点中点ABCD7.顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．平行四边形8、如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有A．1对B．2对C．3对D．4对9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形10.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为A．16B．32C．64D．512二、耐心填一填（每小题３分，共30分）11、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。ABDCO⑴ADBCFE⑷ABDCE⑶ABDCOABDCO⑴ADBCFE⑷ABDCE⑶ABDCO⑵13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。14、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。15、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。16、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。17、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。18、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿。19、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。20、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。三、用心想一想（共40分）DACBE21、（8分）如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAEDACBE求∠C、∠B的度数。ADBC23、（8分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长20ADBC21、（8分）如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE＝CF，ABDCFEABDCFE60o⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。24、证明题：（8分）ABDCFE如图，△ABC中∠ACB＝90o，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDFABDCFE25、（8分）已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿试证明：这个多边形是菱形。AABDCFE参考答案1．D；2．C3．B4．B5．B6．B7．D8．C9．D10．C11．相等12．4513．∠A＝120o，∠D＝60o14．22.5，12.515．516．2817．118．1619．1520．321．解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o又∵□ABCD∴∠C＝∠BAD＝50o∴AD∥BC∴∠B＝180o－∠BAD＝180o－50o＝130o22．解：∵AD∥BC∴∠1＝∠2ADBC123又∠2＝∠3∴∠1＝∠ADBC123又AB＝DC得AB＝AD＝DC＝在△ADC中∵∠D＝120o∠1＝∠3＝又∠BCD＝2∠3＝60o∴∠B=∠BCD=60o∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o∠2＝30o则BC＝2AB＝2xAB＝4BC＝8在Rt△ABC中AC＝23．⑴△BCE≌△DCF理由：因为四边形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠BCD＝90o∴∠BCE＝∠DCF又CE＝CF∴△BCE≌△DCF⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝又∵△BCE≌△DCF∴∠CFD＝∠BEC＝60o∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o24．证明：∵D、E分别是AC、AB的中点∴DE∥BC∵∠ACB＝90o∴CE=AB＝AE∵∠A＝∠ECA∴∠CDF＝∠A∴∠CDF＝∠ECA∴DF∥CE∴四边形DECF是平行四边形25．答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）证明：∵DE∥ACDF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形又AE＝AF∴四边形AEDF是菱形。四边形的基础训练一、选择题1．平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（）．A．锐角B．直角C．钝角D．不确定2．中，则和的度数分别为（）．A．，B．，C．，D．，3．中的对角线，相交于点，，，则长度的取值范围是（）．A．B．C．D．4．如图1，的对角线和交于，，，，则△的周长是（）．A．56B．45C．51D．59５．已知平行四边形的周长为，相邻两边的比为1：2，则较短的边长为（）．图1A．B．C．D．图1６．下列说法正确的是（）．（A）有两组对边分别平行的图形是平行四边形（B）平行四边形的对角线相等（C）平行四边形的对角互补，邻角相等（D）平行四边形的对边平行且相等7、平行四边形的两条对角线把它分成的三角形中,全等三角形共有（）A、2对B、3对C、4对D、6对8、若矩形的对角线是一条边的2倍，则两条对角线所夹的锐角是（）A、30°B、45°C、60°D、75°9、矩形具备的性质而菱形不具备的性质是（）Ａ、对