数学的味道无穷省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

数学的味道—无穷吉林大学数学学院李辉来2007年5月第1页1.数数2.点数与长度3.完美与缺点4.分数维5.Peano曲线6.科克曲线第2页1数数数列就是“数数”。首先来看两个数列:

1，2，3，…，n,…

2，4，6，…，2n，…正偶数与自然数个数一样多！怪第3页第4页因为第一个数列项有重复，所以第一个数列（正有理数）“个数”不会比自然数“个数”多。另首先，自然数显然是正有理数一部分，所以自然数“个数”也不会比正有理数“个数”多，所以，我们得到一个结论：正有理数与自然数“个数”一样多！怪第5页2点数与长度例1线段点一样多第6页演示表明:两条线段长度不等,不过点数相等.怪第7页例2封闭曲线点一样多演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长度不等,不过点数相等.怪第8页●例3圆周比直线多一点演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点.而圆周是有限长,直线是无限长!!!!怪第9页我们能够得到体会：

点数与长度没有必定关系第10页问题:为何事实与感觉不一样?这种事实说明过去知识是否有什么缺点,才使得我们产生错觉?为何无穷多会出现如此令人诧异现象?有理数能够”数”,那么无理数能否”数”?实数能否”数”呢?第11页我们来看看历史发展过程.伽里略(1564-1642)曾用意大利文写了两部著作:《关于托密勒和哥白尼两大世界体系对话》(1632)（天文学），《关于两种新科学对话》(1638)（物理学）两部著作都采取了文艺复兴时期绅士对话形式。萨尔维阿蒂—见识多广科学家辛普利邱—正统亚里士多德学派人物第12页辛普利邱：“现在有一个我处理不了难题。很清楚，因为我们能够有一条比另一条线段更长线段，其中每一条都包含着无穷数目标点，所以我们就不得不认可，对一条线段和线段内全部点来说，我们有比无限多还要大东西，因为长线段上无限点比短线段上无限点要多。这种赋予一个无限数量以大于无限值做法使我无法了解。”萨尔维阿蒂：“这是当我们企图以有限智力讨论无限，并赋予它我们给有限东西一样性质时所出现困难。不过我认为这么做是错误，因为我们对一个无限量不能说它大于、小于或等于另一个无限量。要证实这一点，我进行了第13页推理，为了清楚起见，我将以向提出这种困难辛普利邱提问形式叙述这个问题。我认为你当然知道哪些数是平方数，而哪些数不是。”辛普利邱：“我当然知道一个平方数是由某一个数自乘后得到：4，9是平方数，它们分别由2，3自乘得到。”萨尔维阿蒂：“很好，而你也知道乘积叫做平方数，而因子叫做根；另首先，由两个不一样因子组成数学不是平方数。所以，我说包含平方数和非平方数在内全部数比单独平方数多，对不对？”辛普利邱：“当然是这么。”……第14页萨尔维阿蒂证实了自然数和它平方数一样多，不过他又说有一个问题处理不了：找不出[0，1]区间点与全体自然数一一对应。从以上谈话能够看出：在康托尔（Cantor,1845-1918）集合论之前创建之前,伽里略已经对无限有了很好了解。辛普利邱不能了解出现了比无穷大还大量现象。比如：区间[0，2]包含了[0，1]，[0，2]中应该比[0，1]点多。由此可见，在16世纪，人们就已经注意到了无限与有限区分。上述问题由康托尔建立集合论加以处理。第15页问题:为何事实与感觉不一样?这种事实说明过去知识是否有什么缺点,才使得我们产生错觉?为何无穷多会出现如此令人诧异现象?有理数能够”数”,那么无理数能否”数”?实数能否”数”呢?第16页上述问题由康托尔建立集合论加以处理，大家在“实变函数”中能够学习这些内容。第17页●●●●●这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上不论x是趋于，还是趋于，反应在圆周上显示是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同点——顶点！3完美与缺陷第18页结论第19页应用？第20页应用

既然圆周比直线“多”一点——顶点，顶点对应于直线两端（±∞），所以在直线上来对待这个问题，我们希望有一个处理方法。实际上，假如在直线上设置一个“原点”，那么其左右两端也是对称。所以我们把直线于原点处折叠过来，就能够建立正负数之间一个一一对应，处理了这个问题。请看演示第21页●●●x●●●所以，我们得到无穷远处函数极限关系如右：应用第22页演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点.那么将它们旋转，能够得到球面与平面类似关系第23页第24页所以，球面比平面“多”一点。球面：封闭、有限面积、多个；无边界平面：开放、无限面积、一个；无边界球面包含了平面试问：1、直线在球面上是什么样？2、三角形在球面上是什么样？3、假如人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？第25页1、直线在球面上是过顶点圆.结论:从球面上看,平面上全部直线都相交.第26页2、平面三角形是曲边三角形，内角和大于180o.第27页结论:从球面上看,平面上全部直线都相交,

三角形内角和可能大于或小于180o

.从而产生了非欧几里德几何.即非欧几何.非欧几何代表:罗巴切夫斯基几何黎曼非欧几何(双曲几何,即三角形内角和<180o).还有椭圆几何、抛物几何、混合型几何和有限几何（只含有限多个点、线、面）。几何划时代总结是1872年由克莱因和挪威数学家李以群论交换群来刻画，并把拓扑学作为一门主要集合学科。第28页几何与物理空间人们注意并开始接收非欧几何是在Gauss生前完成（1854），死后发表论文（1855）之后。许多数学家相信非欧几何也能够是物理空间中几何。实际上，单是有别几何存在就已经令人吃惊，但令人震惊是你不在知道哪个是正确，或者终究有没有正确。全部这些奇怪几何都可和欧氏几何媲美甚至能够取而代之！

第29页没有非欧几何就没有相对论！爱恩斯坦广义相对论必须用一个黎曼非欧几何来描述这么物理空间。1947年由对视空间（从正常有双目视觉人心理上观察空间）所做研究表明这么空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述实际上，欧氏几何和非欧几何在“细小范围”内误差很小，在“浩大范围”（天文学）内差异就显著了。

第30页3、假如人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？见着了,哈他俩可完了,这辈子可再也见不着了!!!第31页所以,有些事情就会失效了:条条大路通罗马殊途同归走错了方向就可能回不来了有情人不一定成眷属.因为可能见不着,可能约会实现不了,可能走错了路,可能走错了方向,可能……第32页所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救错误.(球面)就有这么”一点”,就显得如此完美!人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,所以空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”,那么站在球上看平面,一切也是”弯曲”.第33页所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救错误.(球面)就有这么”一点”,就显得如此完美!人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,所以空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”,那么站在球上看平面,一切也是”弯曲”.第34页无穷→集合论→数学基础数学分析线性代数解析几何概率统计连续量离散量空间结构空间不变量随机量泛函分析拓扑学无穷维空间结构与形式空间形式当代数学研究基础当代数学分支第35页科学发觉和发展在于：

善