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文档简介

4.4数学归纳法

角度3

证明数的整除[例5](教材提升·习题4.4T8)用数学归纳法证明:11n+1+122n-1能被133整除(n∈N*).【证明】①当n=1时,11n+1+122n-1=112+12=133,能被133整除,所以n=1时结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,11k+1+122k-1能被133整除,那么当n=k+1时,11k+2+122k+1=11k+1×11+122k-1×122=11k+1×11+122k-1×11-122k-1×11+122k-1×122=11×(11k+1+122k-1)+133×122k-1.由归纳假设可知11×(11k+1+122k-1)+133×122k-1能被133整除,即11k+2+122k+1能被133整除.所以当n=k+1时结论也成立.综上,由①②可知,11n+1+122n-1能被133整除.

例4【即学即练】用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+22+33+…+nn<(n+1)n.【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1+22+33+…+kk<(k+1)k,那么,当n=k+1时,左边=12+22+33+…+kk+(k+1)k+1<(k+1)k+(k+1)k+1=(k+1)k(k+2)<(k+2)k+1=[(k+1)+1]k+1=右边,即当n=k+1时不等式也成立.根据(1)(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.例5【即学即练】证明:n3+5n(n∈N*)能够被6整除.【证明】①当n=1时,n3+5n=6,显然能够被6整除,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即n3+5n=k3+5k能够被6整除,当n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6,由假设知:k3+5k能够被6整除,而k(k+1)为偶数,故3k(k+1)能够被6整除,故(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6能够被6整除,即当n=k+1时,命题成立,由①②可知,命题对一切正整数成立,即n3+5n(n∈N*)能够被6整除

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