山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年度第二学期第一次质量检测高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为()A. B. C. D.2.已知为锐角，若则（）A. B. C. D.3.在平行四边形中，，记，则（）A B.C. D.4.值为（）A. B.1 C. D.25.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.16.在正方形中，与交于点，则（）A. B. C. D.7.已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（）．A. B.5 C. D.-18.在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（）A.0 B.4 C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，已知点，则（）A.B.是直角三角形C.在方向上投影向量的坐标为D.与垂直的单位向量的坐标为或10.已知点，，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，的夹角为钝角，则且11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.直线是的图象的一条对称轴C.函数是奇函数D.函数在上单调递减第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_______.13.若，则__________．14.已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量，定义新运算：.（1）若向量，求；（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.16.已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）若，，求的值.17.已知向量，，且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直，求k的值．（3）若向量与互相平行，求k的值18已知向量，函数.（1）求的最小正周期;（2）求的单调减区间；（3）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.19.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=（1）试用，表示；（2）若，求∠ARB余弦值（3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.

2024-2025学年度第二学期第一次质量检测高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；由，所以，即③正确；由，得不一定成立，故④错误.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.2.已知为锐角，若则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由诱导公式化简可得，由同角三角函数的平方关系求出，再由两角差的余弦公式求解即可.【详解】因为因为为锐角，所以，所以.故选：A.3.在平行四边形中，，记，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算，用表示【详解】因为，则有，所以.故选：B．4.的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据正切的差角公式逆用可得答案．【详解】，故选：B．5.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.6.在正方形中，与交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形的棱长为，因为，则，，，，所以，，所以.故选：C7.已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（）．A. B.5 C. D.-1【答案】B【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式转化为对任意的，恒成立．再构造函数，利用二次函数知识求出最大值即可得解.【详解】由题意知，对任意，，即，即恒成立．令，当时，，，实数的最小值为5．故选：B．8.在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（）A.0 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值.【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，则，且，故，所以，令，则，则，因为，所以，，故，所以的最小值为，当且仅当时取得.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，已知点，则（）A.B.是直角三角形C.在方向上的投影向量的坐标为D.与垂直的单位向量的坐标为或【答案】ABD【解析】【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.【详解】因为，所以，A正确因为，所以，所以，即为直角三角形，B正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量为，C错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，故选：ABD．10.已知点，，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，的夹角为钝角，则且【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出的坐标，再逐项计算判断各个选项即得.【详解】由点，，，得，对于A，，A正确；对于B，由，得，解得，B错误；对于C，由，得，解得，C正确；对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线，即且，D正确.故选：ACD11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.直线是的图象的一条对称轴C.函数是奇函数D.函数在上单调递减【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出的解析式，再逐项判断得解.【详解】观察图象知，函数的周期，则，由，得，又，则，，对于A，，A正确；对于B，由，得直线不是的图象的对称轴，B错误；对于C，是奇函数，C正确；对于D，当时，，而正弦函数上递减，因此函数在上单调递减，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_______.【答案】【解析】【分析】根据向量平行得到方程，求出，从而得到，利用模长公式求出答案.【详解】因为，所以，即，因为，所以.故答案：13.若，则__________．【答案】【解析】【详解】因为，，所以.14.已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解.【详解】设，其中，已知边长为2的菱形中，，则为等边三角形，又，则又，故故．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量，定义新运算：.（1）若向量，求；（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.【小问1详解】，.【小问2详解】由，，.，故与夹角的余弦值为.16.已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）若，，求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【详解】试题分析：（1）化简函数，根据函数的性质可得最值；（2）将代入化简后的函数解析式可得，化简，代入求解即可.试题解析：（1），当时，；（2），，即，.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，这是看函数名称之间的差异，从而确定要使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，这是分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.17.已知向量，，且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直，求k的值．（3）若向量与互相平行，求k的值【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．（3）由向量平行的判定定理即可求解.【小问1详解】由，得，设向量与夹角为，由，，又，所以，所以，解得，所以向量与的夹角为．【小问2详解】由向量向量与互相垂直，得，所以，即，解得或．【小问3详解】因为向量与互相平行，所以存在，使得=所以解得：18.已知向量，函数.（1）求的最小正周期;（2）求的单调减区间；（3）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果；（2）由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；（3）将函数零点转化为函数图像交点，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.【小问1详解】，的最小正周期.【小问2详解】令，，解得，，所以的单调减区间为【小问3详解】由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，令，做出的图像与直线，如图.由图知，当时，的图像与直线有两个交点，19.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=（1）试用，