数学基础综合考试大纲-学科教学

数学基础综合考试大纲-学科教学一、考试目标本考试大纲适用于报考学科教学（数学）专业硕士研究生的考生。考试旨在考查考生对数学专业基础知识的掌握程度，以及运用这些知识解决数学教育相关问题的能力，为选拔具有扎实数学基础和良好教育教学素养的专业人才提供依据。具体目标如下：1.系统掌握数学专业的核心知识，包括数学分析、高等代数、概率论与数理统计等基础知识，能够准确理解概念、熟练运用定理和公式进行推理和计算。2.具备运用数学知识解决实际数学教育问题的能力，如教学设计、教学评价、课程开发等方面，能够结合数学学科特点和学生认知规律进行合理的教学规划与实施。3.了解数学教育的基本理论和研究方法，能够运用相关理论分析数学教学现象，提出改进教学的策略和建议，具备一定的教育研究素养。

二、考试内容数学分析1.极限理论数列极限：数列极限的定义、性质（唯一性、有界性、保号性等），收敛数列的判别法（夹逼准则、单调有界准则等），数列极限的计算方法（四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则等）。函数极限：函数极限的定义（包括单侧极限）、性质，函数极限的计算方法（同数列极限计算方法，以及利用函数连续性求极限等），无穷小量与无穷大量的概念及其关系，无穷小量的比较。函数的连续性：函数连续性的定义、间断点的分类，连续函数的性质（局部有界性、最大值最小值定理、介值定理等），一致连续性的概念及判定。2.一元函数微分学导数与微分：导数的定义、几何意义，函数可导性与连续性的关系，求导法则（四则运算求导法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等），基本初等函数的导数公式，高阶导数的概念及求法，微分的定义及运算法则。微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用中值定理证明等式和不等式。导数的应用：函数单调性的判别法，函数极值的概念及求法，函数最值的求法（包括在闭区间上的最值），曲线的凹凸性与拐点的概念及判定方法，函数图形的描绘。3.一元函数积分学不定积分：不定积分的概念与性质，基本积分公式，换元积分法（第一类换元法和第二类换元法），分部积分法，有理函数积分法。定积分：定积分的定义、性质，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，反常积分（无穷限反常积分和无界函数反常积分）的概念及敛散性判别法。定积分的应用：平面图形的面积计算（直角坐标、极坐标下），旋转体体积的计算（绕坐标轴旋转），物理应用（如功、引力、压力等）。4.多元函数微分学多元函数的极限与连续：多元函数的概念，二元函数的极限与连续性的定义，多元函数极限的计算方法，有界闭区域上连续函数的性质。偏导数与全微分：偏导数的定义、计算方法，高阶偏导数，全微分的定义及计算，全微分在近似计算中的应用。多元复合函数求导法则与隐函数求导法则：多元复合函数求导法则（链式法则），隐函数存在定理，隐函数求导方法（一个方程和方程组确定的隐函数求导）。多元函数的极值与最值：多元函数极值的概念，必要条件和充分条件，条件极值的概念及拉格朗日乘数法，多元函数在有界闭区域上的最值求法。5.多元函数积分学二重积分：二重积分的定义、性质，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标下的计算），二重积分交换积分次序，利用二重积分计算平面图形的面积、立体体积等。三重积分：三重积分的定义、性质，三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的计算），利用三重积分计算立体体积、质量等。曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义、性质及计算方法，第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）的定义、性质、计算方法及与路径无关的条件，格林公式及其应用。曲面积分：第一类曲面积分（对面积的曲面积分）的定义、性质及计算方法，第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）的定义、性质、计算方法及高斯公式、斯托克斯公式。

高等代数1.多项式多项式的基本概念：多项式的定义、次数、相等、加法、减法、乘法运算，多项式环。多项式的整除理论：整除的定义、性质，带余除法，最大公因式的概念及求法（辗转相除法），互素多项式的定义、性质及判定。多项式的因式分解理论：不可约多项式的定义、性质，因式分解定理，标准分解式，重因式的概念及判别法，多项式函数与多项式的根，有理系数多项式的有理根求法、整系数多项式的有理根性质，艾森斯坦判别法。2.行列式行列式的定义：排列的概念、逆序数，n阶行列式的定义。行列式的性质：行列式的性质（换行（列）变号、倍乘、倍加等性质），利用性质计算行列式。行列式的计算方法：按行（列）展开定理，范德蒙德行列式，拉普拉斯定理，行列式的计算技巧（如三角化、降阶法、递推法等）。3.线性方程组消元法：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，用消元法解线性方程组，矩阵的秩的概念及求法。线性方程组解的判定：线性方程组有解的判定定理，齐次线性方程组有非零解的充要条件。线性方程组解的结构：齐次线性方程组解的结构（基础解系的概念、求法及性质），非齐次线性方程组解的结构（通解的表示形式）。4.矩阵矩阵的基本运算：矩阵的加法、减法、乘法、数乘运算，矩阵的转置，方阵的行列式，伴随矩阵，可逆矩阵的定义、性质及判定方法，逆矩阵的求法（公式法、初等变换法等）。矩阵的初等变换与初等矩阵：矩阵的初等变换，初等矩阵的定义及性质，矩阵等价的概念，用初等变换求矩阵的秩、逆矩阵。分块矩阵：分块矩阵的运算规则，分块矩阵的初等变换，利用分块矩阵简化矩阵运算。5.二次型二次型及其矩阵表示：二次型的定义，二次型的矩阵，合同矩阵的概念及性质。二次型的标准形：用正交变换化二次型为标准形，用配方法化二次型为标准形。二次型的规范形：惯性定理，二次型的规范形，正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型的定义及判定方法。6.线性空间线性空间的定义与性质：线性空间的定义，线性空间的子空间的概念及判定，线性空间的基、维数与坐标，过渡矩阵的概念及求法。线性变换：线性变换的定义、性质，线性变换的矩阵表示，线性变换在不同基下的矩阵关系，特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的条件。7.线性变换线性变换的运算：线性变换的加法、数乘、乘法运算，线性变换的逆变换，线性变换的值域与核的概念及性质。不变子空间：不变子空间的定义，线性变换在不变子空间上的限制，不变子空间与线性变换矩阵化简的关系。

概率论与数理统计1.随机事件和概率随机事件：随机事件的概念，事件的关系与运算（包含、相等、并、交、差、对立等），完备事件组。概率的定义与性质：概率的公理化定义，概率的基本性质（非负性、规范性、可列可加性等），古典概型（样本空间有限、等可能概型）的概率计算，几何概型的概率计算。条件概率：条件概率的定义，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式。事件的独立性：两个事件相互独立的定义，多个事件相互独立的定义及性质，独立重复试验与伯努利概型。2.随机变量及其分布随机变量：随机变量的定义，离散型随机变量及其分布律，连续型随机变量及其概率密度函数，分布函数的定义、性质及计算。常见分布：离散型常见分布（01分布、二项分布、泊松分布等），连续型常见分布（均匀分布、正态分布、指数分布等），随机变量函数的分布（离散型随机变量函数分布的求法，连续型随机变量函数分布的求法（公式法、分布函数法））。3.多维随机变量及其分布二维随机变量：二维随机变量的定义，联合分布函数、联合分布律（离散型）、联合概率密度函数（连续型）的定义及性质，边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度函数的求法，条件分布函数、条件分布律、条件概率密度函数的求法。随机变量的独立性：二维随机变量相互独立的定义及判定方法，多个随机变量相互独立的定义及性质。二维随机变量函数的分布：两个随机变量和、积、商等函数的分布（离散型和连续型情况的求法）。4.随机变量的数字特征数学期望：数学期望的定义（离散型、连续型），数学期望的性质，随机变量函数的数学期望（公式法），常见分布的数学期望。方差：方差的定义，方差的性质，常见分布的方差，切比雪夫不等式。协方差与相关系数：协方差的定义、性质，相关系数的定义及性质，随机变量的独立性与不相关性的关系。5.大数定律和中心极限定理大数定律：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律的条件及结论。中心极限定理：独立同分布的中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理的条件及结论，利用中心极限定理近似计算概率。6.数理统计的基本概念总体与样本：总体、个体、样本、简单随机样本的概念，样本均值、样本方差、样本矩的定义及性质。抽样分布：\(\chi^2\)分布、\(t\)分布、\(F\)分布的定义、性质及分位点，正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布。7.参数估计点估计：矩估计法、极大似然估计法的原理及计算，估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。区间估计：单个正态总体均值与方差的区间估计，两个正态总体均值差与方差比的区间估计。8.假设检验假设检验的基本概念：原假设、备择假设、检验统计量、显著性水平、拒绝域、两类错误等概念。单个正态总体均值与方差的假设检验：\(u\)检验法、\(t\)检验法、\(\chi^2\)检验法的检验步骤及应用。两个正态总体均值差与方差比的假设检验：相应的检验方法及应用。

三、考试形式和试卷结构1.考试形式考试形式为闭卷、笔试，考试时间为180分钟。2.试卷结构试卷满分为150分。数学分析：约50分。高等代数：约50分。概率论与数理统计：约50分。3.题型结构选择题：约30分（10小题，每小题3分）。填空题：约30分（10小题，每小题3分）。解答题：约90分（6小题，每题15分左右）。

四、样题

选择题（每题3分，共30分）1.函数\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)在\(x=1\)处（）A.连续B.有可去间断点C.有跳跃间断点D.有无穷间断点2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)中必有两行（列）的元素对应成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.\(A\)中必有一行（列）元素全为零D.\(A\)的行（列）向量组线性无关3.设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，则\(P\{1<X\leq3\}=\)（）（已知\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.6826\)B.\(0.8413\)C.\(0.9544\)D.\(0.9974\)

填空题（每题3分，共30分）1.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)______。2.设\(f(x,y)=x^2+3xy+y^2\)，则\(f_x(1,1)=\)______。3.已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^{*}=\)______。

解答题（每题15分左右，共90分）1.求函数\(y=x^33x^29x+5\)的单调区间、极值及凹凸区间和拐点。2.计算二重积分\(\iint_Dx^2y\,dxdy\)，其中\(D\)是由\(y=x^2\)，\(y=1\)所围成的区域。3.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+3x_2+5x_3=2\\3x_1+5x_2+ax_3=3\end{cases}\)，问\(a\)为何值时，方程组有解？有解时求出其通解。

五、参考书目1.《数学分析》（上下册），华东师范大学数学系编，高等