选择方案应用题

选择方案应用题摘要：本文旨在探讨选择方案应用题的解题方法与策略。通过对不同类型选择方案应用题的分析，阐述如何从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，运用数学知识进行推理和计算，从而找出最优方案。同时，强调在解题过程中培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，以及如何将数学知识应用于实际生活场景，提高学生运用数学知识解决实际问题的素养。

一、引言在日常生活和工作中，我们常常会面临各种选择方案的决策问题。例如，选择购买哪种品牌的手机更划算，选择哪种出行方式去上班最节省时间和成本，选择哪种投资方案能获得最大收益等等。这些问题都可以通过数学中的选择方案应用题来进行分析和解决。选择方案应用题能够培养我们运用数学知识解决实际问题的能力，帮助我们在众多方案中做出明智的决策。

二、选择方案应用题的类型及解题步骤

（一）成本比较型1.例题某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件需50元，购进乙商品1件需30元。若该商场同时购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去3100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？如果购进甲商品x件，那么购进乙商品（80x）件。根据题意可列方程：50x+30(80x)=3100。2.解题步骤设未知数：根据题目中的关键量设未知数，如本题设购进甲商品x件。找等量关系：找出题目中表示相等关系的语句，如"恰好用去3100元"，这就是等量关系。列方程：根据等量关系列出方程，如50x+30(80x)=3100。解方程：求解方程得到未知数的值，50x+30(80x)=3100，展开括号得50x+240030x=3100，移项合并得20x=700，解得x=35，则80x=45。检验并作答：检验方程的解是否符合实际意义，然后写出答案，即购进甲商品35件，购进乙商品45件。

（二）收益最大化型1.例题某工厂生产A、B两种产品，已知生产一件A产品需用甲原料10千克、乙原料5千克，生产一件B产品需用甲原料4千克、乙原料9千克。现有甲原料360千克、乙原料290千克，若生产一件A产品可获利润700元，生产一件B产品可获利润1200元，设生产A产品x件，怎样安排生产可使获得的总利润最大？最大利润是多少？生产A产品x件，则生产B产品的数量可根据原料限制来确定。甲原料限制：10x+4y≤360，即y≤(36010x)/4；乙原料限制：5x+9y≤290，即y≤(2905x)/9。总利润W=700x+1200y。2.解题步骤设未知数：设生产A产品x件，生产B产品y件。根据条件列不等式组：根据原料限制列出不等式组，如上述甲、乙原料限制的不等式。确定目标函数：根据利润关系确定目标函数，如W=700x+1200y。求解不等式组并结合实际情况确定可行域：解不等式组得到x和y的取值范围，再结合实际情况（x、y为非负整数）确定可行域。在可行域内求目标函数的最大值：通过代入可行域内的整点（x、y为整数的点），计算目标函数的值，比较得出最大值。例如，由10x+4y=360得y=902.5x，由5x+9y=290得y=(2905x)/9。联立求解得交点坐标，再结合x、y非负整数的条件，在可行域内代入计算：当x=10时，y=(36010×10)/4=65，W=700×10+1200×65=85000；当x=14时，y=(36010×14)/4=55，W=700×14+1200×55=84800；......比较可得当x=10，y=65时，总利润最大，最大利润为85000元。

（三）时间效率型1.例题某工程队有甲、乙两个工程队，甲队单独完成一项工程需12天，乙队单独完成一项工程需18天。若先由甲队单独做3天，剩下的工程由两队合作完成，那么还需多少天才能完成这项工程？设还需x天完成。甲队一天完成工程的1/12，乙队一天完成工程的1/18。甲先做3天完成的工作量为3×(1/12)，两队合作x天完成的工作量为x(1/12+1/18)。2.解题步骤设未知数：设还需x天完成。明确工作效率：分别求出甲、乙两队的工作效率，如甲队1/12，乙队1/18。分析工作量：根据工作时间和工作效率计算工作量，甲先做的工作量加上两队合作的工作量等于总工作量1。列方程：3×(1/12)+x(1/12+1/18)=1。解方程：先计算括号内的值1/12+1/18=5/36，方程变为1/4+5x/36=1，移项得5x/36=11/4=3/4，解得x=27/5=5.4天。

三、选择方案应用题的解题技巧

（一）仔细审题认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题。注意关键词，如"最多""最少""恰好""至少"等，这些关键词往往是解题的关键信息。

（二）合理设元根据题目特点，选择合适的未知数。可以直接设未知数，也可以间接设未知数。设元要有利于表示其他相关量，便于列出方程或不等式。

（三）寻找等量关系或不等关系这是解题的核心步骤。通过分析题目中的数量关系，找出表示相等或不等的关系。可以借助线段图、表格等工具来帮助分析。

（四）建立数学模型根据找到的关系，列出方程、不等式或函数表达式等数学模型。方程用于解决等量关系问题，不等式用于解决有范围限制的问题，函数用于求最值等问题。

（五）求解并检验求解建立的数学模型，得到未知数的值。然后检验解是否符合实际意义，如人数不能为负数、产品数量必须为整数等。

（六）作答根据检验后的结果，写出完整的答案，包括单位等。

四、选择方案应用题的常见错误及防范措施

（一）常见错误1.审题不清：没有准确理解题意，导致设元错误或找不到正确的数量关系。2.等量关系找错：对题目中的条件分析不准确，列出错误的方程或不等式。3.计算错误：在解方程、不等式或计算函数值时出现计算失误。4.忽略实际意义：求出的解不符合实际情况，如人数为小数等，没有进行合理调整。

（二）防范措施1.多读几遍题目，仔细分析每一个条件，确保理解题意。可以边读边标记关键信息。2.对常见的数量关系进行总结归纳，提高找等量关系的能力。做完题后认真检查方程或不等式是否正确。3.计算时要认真仔细，做完后可以再验算一遍。4.时刻牢记实际问题中未知数的取值范围，对求出的解进行合理性判断，如有不符合实际的情况要重新思考解题过程。

五、选择方案应用题的拓展与延伸

（一）多种限制条件下的方案选择在实际问题中，可能会同时存在多种限制条件，如成本、时间、资源等。需要综合考虑这些条件，建立更复杂的数学模型来求解最优方案。例如，某工厂要生产一批产品，有两种生产方案。方案一：每天生产产品A10件，产品B5件，所需成本为1000元；方案二：每天生产产品A6件，产品B8件，所需成本为800元。该工厂需要在30天内完成至少200件产品A和150件产品B的生产任务，问如何安排生产方案可使成本最低？设方案一生产x天，方案二生产y天。成本C=1000x+800y。生产任务限制：对于产品A：10x+6y≥200；对于产品B：5x+8y≥150；时间限制：x+y≤30；且x、y为非负整数。通过解不等式组并在可行域内求成本函数的最小值来确定最优生产方案。

（二）动态变化的方案选择有些选择方案应用题中，条件会随着时间或其他因素动态变化。例如，随着市场价格的波动，原材料成本会发生变化；随着生产进度的推进，生产效率也可能改变。这时需要建立动态的数学模型，如函数的变化关系来分析和解决问题。某企业生产某种产品，根据市场需求预测，该产品的市场价格p（元/件）与生产数量x（件）之间的关系为p=1500.1x。生产该产品的固定成本为2000元，每生产一件产品的变动成本为50元。问该企业生产多少件产品时可获得最大利润？利润L=x(1500.1x)200050x=0.1x²+100x2000。通过求二次函数的最值来确定生产数量，当x=100/(2×(0.1))=500件时，利润最大。

六、结论选择方案应用题是数学知识与实际生活紧密结合的重要体现。通过解决这类问题，我们能够提