线性代数网络教学阶段测试一

线性代数网络教学阶段测试一一、测试概述本次线性代数网络教学阶段测试一是对学生在网络教学过程中前一阶段所学知识的综合考查。测试涵盖了线性代数的多个重要知识点，包括行列式、矩阵、向量等内容，旨在检验学生对基础知识的掌握程度、运算能力以及运用所学知识解决问题的能力。

二、测试题目

（一）选择题（每题3分，共15分）1.已知四阶行列式$D$中第三列元素依次为1,2,0,1，它们的余子式依次为5,3,7,4，则$D=$（）A.15B.15C.0D.1【答案】A【解析】根据行列式按列展开定理：$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+a_{4j}A_{4j}$（$j$为列标），这里$j=3$，所以$D=(1)\times(1)^{1+3}\times5+2\times(1)^{2+3}\times3+0\times(1)^{3+3}\times(7)+1\times(1)^{4+3}\times4=564=15$。

2.设$A$，$B$为$n$阶方阵，满足$AB=O$，则必有（）A.$A=O$或$B=O$B.$A+B=O$C.$|A|=0$或$|B|=0$D.$|A|+|B|=0$【答案】C【解析】因为$AB=O$，两边取行列式得$|AB|=|A|\times|B|=0$，所以$|A|=0$或$|B|=0$。

3.向量组$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,0,1)$，当$\alpha_3=$（）时，$\alpha_3$是$\alpha_1$，$\alpha_2$的线性组合。A.$(2,0,0)$B.$(3,0,4)$C.$(1,1,0)$D.$(0,1,0)$【答案】B【解析】设$\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，对于选项B，设$\alpha_3=(3,0,4)=k_1(1,0,0)+k_2(0,0,1)$，即$\begin{cases}k_1=3\\k_2=4\end{cases}$，所以$\alpha_3$是$\alpha_1$，$\alpha_2$的线性组合。

4.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，则$(AB)^T=$（）A.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$【答案】A【解析】根据矩阵转置的性质$(AB)^T=B^TA^T$，$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$，$B^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$，所以$(AB)^T=B^TA^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$。

5.设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=2$，则$|A^{1}|=$（）A.$\frac{1}{2}$B.2C.1D.4【答案】A【解析】因为$|A|\times|A^{1}|=1$，已知$|A|=2$，所以$|A^{1}|=\frac{1}{2}$。

（二）填空题（每题3分，共15分）1.排列45312的逆序数为______。【答案】7【解析】在排列45312中，4前面比4大的数有0个；5前面比5大的数有0个；3前面比3大的数有2个（4和5）；1前面比1大的数有3个（4、5、3）；2前面比2大的数有3个（4、5、3），所以逆序数为$0+0+2+3+2=7$。

2.已知三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3$，则$\begin{vmatrix}3a_{11}&3a_{12}&3a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$______。【答案】9【解析】根据行列式的性质，某一行（列）元素乘以一个数，行列式的值也乘以这个数，所以$\begin{vmatrix}3a_{11}&3a_{12}&3a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3\times\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3\times3=9$。

3.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，则$A+B=$______。【答案】$\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$【解析】两个矩阵相加，对应元素相加，所以$A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$。

4.已知向量组$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$，$\alpha_3=(1,3,t)$线性相关，则$t=$______。【答案】5【解析】向量组线性相关，则对应的行列式的值为0，即$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=0$，计算行列式得$2t33+3t=0$，解得$t=5$。

5.设$A$为正交矩阵，则$|A|=$______。【答案】$\pm1$【解析】因为$A$为正交矩阵，所以$A^TA=E$，两边取行列式得$|A^TA|=|E|=1$，又因为$|A^TA|=|A^T|\times|A|=|A|^2$，所以$|A|^2=1$，即$|A|=\pm1$。

（三）计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&10&20\end{vmatrix}$。【解析】首先对行列式进行变换：第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&2&5&9\\0&3&9&19\end{vmatrix}$然后第三行减去第二行的2倍，第四行减去第二行的3倍，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&3&10\end{vmatrix}$接着第四行减去第三行的3倍，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{vmatrix}$最后根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得该行列式的值为$1\times1\times1\times1=1$。

2.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$，求$A^T$及$|A|$。【解析】$A^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$计算$|A|$：对矩阵$A$进行初等行变换，第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行的3倍，得到$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$所以$|A|=0$。

3.设向量组$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$，$\alpha_3=(1,3,t)$，求向量组的秩，并判断其线性相关性。【解析】构造矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$对矩阵$A$进行初等行变换：第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t1\end{pmatrix}$第三行减去第二行的2倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t5\end{pmatrix}$当$t\neq5$时，矩阵的秩为3，向量组线性无关；当$t=5$时，矩阵的秩为2，向量组线性相关。

4.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，求$AB$。【解析】根据矩阵乘法规则：$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$

5.求解非齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+3x_2+2x_3=3\\3x_1+5x_2+3x_3=5\end{cases}$。【解析】首先写出增广矩阵$(A,b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&3&2&3\\3&5&3&5\end{pmatrix}$对增广矩阵进行初等行变换：第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行的3倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&2&0&2\end{pmatrix}$第三行减去第二行的2倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$由此可得方程组的同解方程组为$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_2=1\end{cases}$令$x_3=t$，则$x_1=t$，$x_2=1$，所以方程组的通解为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\1\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$t\inR$。

（四）证明题（每题10分，共20分）1.设$A$，$B$为$n$阶方阵，且$AB=A+B$，证明$(AE)$可逆，并求其逆矩阵。【证明】由$AB=A+B$可得：$ABAB=0$$ABAB+E=E$$A(BE)(BE)=E$$(AE)(BE)=E$所以$(AE)$可逆，且$(AE)^{1}=BE$。

2.设向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性无关，证明向量组$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2+\alpha_3$，$\alpha_3+\alpha_1$也线性无关。【证明】设存在一组数$k_1$，$k_2$，$k_3$，使得$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$整理得$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$因为$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性无关，所以可得方程组$\begin{cases}k_1+k_3=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$解这个方程组，将第一个方程$k_1+k_3=0$移项得$k_1=k_3$，代入第二个方程得$k_3+k_2=0$，即$k_2=k_3$，再代入第三个方程得$k_2