选修2-2反证法教案

选修2-2反证法教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤。学会运用反证法证明一些简单的数学命题。2.过程与方法目标通过实例分析，培养学生观察、分析、逻辑推理的能力。让学生经历"提出问题、分析问题、解决问题"的过程，体会反证法的思维方式，提高解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。让学生感受数学的严谨性，体会数学思维的魅力，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点反证法的概念和一般步骤。能用反证法证明简单的数学命题。2.教学难点理解反证法的推理依据及方法，掌握用反证法证明命题的思路和步骤。如何引导学生通过反设推出矛盾，以及对矛盾的分析和处理。

三、教学方法1.讲授法：通过讲解，向学生传授反证法的基本概念、原理和步骤。2.讨论法：组织学生对一些典型例题进行讨论，引导学生分析问题、寻找思路，培养学生的合作交流能力和逻辑思维能力。3.练习法：安排适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用反证法解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.情境导入讲述"道旁苦李"的故事：王戎七岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。有人问他为什么不去摘，王戎回答说："树在道边而多子，此必苦李。"小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。提出问题：王戎是如何判断李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？引导学生思考，从而引出本节课的主题反证法。2.回顾旧知复习命题的相关知识，包括命题的结构、真假性判断等。提问：什么是命题？命题的一般形式是什么？如何判断一个命题的真假？通过回顾旧知，为学习反证法做好铺垫。

（二）探究新知1.反证法的概念给出一些简单的命题，如"三角形内角和等于180°""两条直线相交只有一个交点"等，让学生尝试从反面进行假设，并推出矛盾。引导学生观察这些推理过程，总结出反证法的定义：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。强调反证法的核心思想是"否定之否定等于肯定"，即通过否定结论，推出矛盾，进而证明原结论的正确性。2.反证法的一般步骤结合前面的例子，详细讲解反证法的一般步骤：反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。归谬：从反设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾。结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。以"三角形内角和等于180°"为例，进一步说明反证法的步骤：反设：假设三角形内角和不等于180°。归谬：设三角形ABC，假设∠A+∠B+∠C≠180°。不妨设∠A+∠B+∠C>180°，延长BC到D，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，于是CE∥BA（内错角相等，两直线平行）。所以∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）。又因为∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB>180°，这与三角形内角和定理矛盾。结论：所以假设不成立，即三角形内角和等于180°。通过这个例子，让学生深刻理解反证法的三个步骤及其逻辑关系。

（三）例题讲解例1：已知直线\(a\)，\(b\)和平面\(\alpha\)，如果\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，且\(a\parallelb\)，求证：\(a\parallel\alpha\)。1.分析引导学生思考：直接证明直线\(a\)与平面\(\alpha\)平行比较困难，我们可以尝试用反证法。让学生根据反证法的步骤进行分析：反设：假设\(a\)与\(\alpha\)不平行，那么\(a\)与\(\alpha\)相交，设交点为\(P\)。归谬：因为\(a\parallelb\)，所以\(P\notinb\)。又因为\(b\subset\alpha\)，\(P\in\alpha\)，所以过点\(P\)在平面\(\alpha\)内可以作直线\(c\parallelb\)。根据平行公理，\(a\parallelc\)，这与\(a\capc=P\)矛盾。结论：所以假设不成立，即\(a\parallel\alpha\)。2.证明过程教师板书详细的证明过程：证明：假设\(a\)与\(\alpha\)不平行，则\(a\)与\(\alpha\)相交，设交点为\(P\)。因为\(a\parallelb\)，所以\(P\notinb\)。又因为\(b\subset\alpha\)，\(P\in\alpha\)，所以过点\(P\)在平面\(\alpha\)内可以作直线\(c\parallelb\)。根据平行公理，\(a\parallelc\)，这与\(a\capc=P\)矛盾。所以假设不成立，即\(a\parallel\alpha\)。3.总结回顾证明过程，强调反证法的关键在于通过合理的反设，推出矛盾，从而证明原命题。引导学生思考：在什么情况下适合使用反证法？让学生总结出当直接证明困难或从正面入手不易时，可以考虑使用反证法。

例2：证明\(\sqrt{2}\)是无理数。1.分析首先让学生理解无理数的概念，即无限不循环小数。然后引导学生思考如何用反证法证明\(\sqrt{2}\)是无理数：反设：假设\(\sqrt{2}\)是有理数，那么它可以表示为\(\frac{p}{q}\)（\(p\)，\(q\)是互质的正整数）。归谬：由\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)，可得\(p^{2}=2q^{2}\)。因为\(2q^{2}\)是偶数，所以\(p^{2}\)是偶数，从而\(p\)也是偶数。设\(p=2m\)（\(m\)是正整数），代入\(p^{2}=2q^{2}\)，得\(4m^{2}=2q^{2}\)，即\(q^{2}=2m^{2}\)。所以\(q\)也是偶数，这与\(p\)，\(q\)互质矛盾。结论：所以假设不成立，即\(\sqrt{2}\)是无理数。2.证明过程教师详细板书证明过程：证明：假设\(\sqrt{2}\)是有理数，则\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)（\(p\)，\(q\)是互质的正整数）。两边平方得\(p^{2}=2q^{2}\)。因为\(2q^{2}\)是偶数，所以\(p^{2}\)是偶数，从而\(p\)也是偶数。设\(p=2m\)（\(m\)是正整数），代入\(p^{2}=2q^{2}\)，得\(4m^{2}=2q^{2}\)，即\(q^{2}=2m^{2}\)。所以\(q\)也是偶数，这与\(p\)，\(q\)互质矛盾。所以假设不成立，即\(\sqrt{2}\)是无理数。3.总结强调证明过程中对互质条件的运用以及推出矛盾的关键步骤。让学生体会反证法在证明一些特殊命题时的有效性和独特性。

（四）课堂练习1.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是一组勾股数，即\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，求证：\(a\)，\(b\)，\(c\)不可能都是奇数。2.证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。3.已知\(x\)，\(y\inR\)，且\(x+y>2\)，求证：\(\frac{1+x}{y}\)与\(\frac{1+y}{x}\)中至少有一个小于2。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括反证法的概念、一般步骤以及用反证法证明命题的思路和方法。2.让学生分享自己在本节课中的收获和体会，如对反证法的理解、证明过程中的注意事项等。3.教师对学生的回答进行总结和补充，强调反证法的重要性和应用时的关键要点，鼓励学生在今后的学习中灵活运用反证法解决问题。

（六）布置作业1.书面作业教材P91练习第1、2、3题。已知\(a\)，\(b\)，\(c\)均为实数，且\(a=x^{2}2y+\frac{\pi}{2}\)，\(b=y^{2}2z+\frac{\pi}{3}\)，\(c=z^{2}2x+\frac{\pi}{6}\)，求证：\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有一个大于0。2.拓展作业查阅资料，了解反证法在其他领域的应用，并撰写一篇简短的报告。思考如何用反证法证明"过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行"。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对反证法有了初步的认识和理解，能够掌握反证法的一般步骤，并尝试运用反证法证明一些简单的数学命题。在教学过程中，通过情境导入、实例分析、例题讲解和课堂练习等环节，逐步引导学生认识反证法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

然而，在教学过程中也发现了一些问题。部分学生对反证法的理解还不够深入，特别是在反设和归谬环节容易出现错误。在今后的教学中，需要加强对这两个环节的针对性训练，通过更多的实例和练习，让学生熟练掌