正余弦定理解三角形教案

正余弦定理解三角形教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解正余弦定理的内容及其推导过程。熟练掌握正余弦定理，并能运用它们解三角形（已知两角一边、两边一角、三边等情况）。通过对正余弦定理的应用，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。2.过程与方法目标通过创设情境，引导学生自主探究、合作交流，经历正余弦定理的推导过程，体会从特殊到一般的数学思维方法。通过典型例题的讲解和练习，让学生掌握运用正余弦定理解三角形的基本步骤和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过数学文化的渗透，培养学生学习数学的兴趣，激发学生勇于探索的精神。在解决实际问题的过程中，让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。

二、教学重难点1.教学重点正余弦定理的内容、证明及应用。2.教学难点正余弦定理在解三角形中的灵活运用，特别是已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一些含有三角形的实际图片，如桥梁、铁塔、山坡等，引导学生观察并思考：在这些实际问题中，如何测量三角形的边长和角度呢？2.提出问题：在一个三角形中，已知某些边和角的信息，能否求出其他边和角呢？引出本节课的主题正余弦定理解三角形。

（二）讲解新课（30分钟）1.正弦定理的探究与推导首先，通过一个直角三角形来探究正弦定理。在直角三角形$ABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，根据正弦函数的定义：$\sinA=\frac{a}{c}$，即$a=c\sinA$；$\sinB=\frac{b}{c}$，即$b=c\sinB$；又因为$\sinC=1$，所以$c=c\sinC$。由此可得：$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$。然后，引导学生思考对于一般的三角形，正弦定理是否仍然成立。利用三角形的外接圆，设$\triangleABC$的外接圆半径为$R$。对于任意角$A$，有$\frac{a}{\sinA}=2R$（通过在圆中构造直角三角形，利用圆周角定理和正弦函数定义证明）。同理可得：$\frac{b}{\sinB}=2R$，$\frac{c}{\sinC}=2R$。所以，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$为三角形外接圆半径）。2.余弦定理的探究与推导同样先从直角三角形入手。在直角三角形$ABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，根据勾股定理：$c^2=a^2+b^2$。又因为$\cosA=\frac{b}{c}$，即$b=c\cosA$；$\cosB=\frac{a}{c}$，即$a=c\cosB$。代入勾股定理可得：$c^2=a^2+b^22ab\cosC$（当$C=90^{\circ}$时，$\cosC=0$，符合勾股定理）。对于一般三角形，通过向量法来推导余弦定理。已知$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\overrightarrow{CA}$，两边平方得：$\overrightarrow{AB}^2=(\overrightarrow{CB}\overrightarrow{CA})^2$。展开可得：$c^2=a^2+b^22ab\cosC$。同理可得：$a^2=b^2+c^22bc\cosA$；$b^2=a^2+c^22ac\cosB$。所以，余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：$a^2=b^2+c^22bc\cosA$；$b^2=a^2+c^22ac\cosB$；$c^2=a^2+b^22ab\cosC$。变形可得：$\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}$；$\cosB=\frac{a^2+c^2b^2}{2ac}$；$\cosC=\frac{a^2+b^2c^2}{2ab}$。3.正余弦定理的理解与记忆引导学生分析正余弦定理的结构特点，帮助学生理解和记忆。强调正余弦定理是解三角形的重要工具，它们建立了三角形的边与角之间的联系。

（三）例题讲解（20分钟）1.已知两角一边解三角形例1：在$\triangleABC$中，已知$A=30^{\circ}$，$B=45^{\circ}$，$a=6$，求$b$，$c$和$C$。分析：已知两角一边，可先求出$C$，再利用正弦定理求$b$，$c$。解：因为$A+B+C=180^{\circ}$，所以$C=180^{\circ}AB=180^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}=105^{\circ}$。由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$可得：$b=\frac{a\sinB}{\sinA}=\frac{6\times\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{6\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6\sqrt{2}$。又因为$\sinC=\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos60^{\circ}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。再由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$可得：$c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{6\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=3(\sqrt{6}+\sqrt{2})$。2.已知两边及其中一边的对角解三角形例2：在$\triangleABC$中，已知$a=2\sqrt{3}$，$b=6$，$A=30^{\circ}$，求$B$，$C$和$c$。分析：已知两边及其中一边的对角，可先用正弦定理求出$B$，再根据三角形内角和求出$C$，最后求$c$。解：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$可得：$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{6\times\sin30^{\circ}}{2\sqrt{3}}=\frac{6\times\frac{1}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因为$b>a$，所以$B>A$，所以$B=60^{\circ}$或$120^{\circ}$。当$B=60^{\circ}$时，$C=180^{\circ}AB=180^{\circ}30^{\circ}60^{\circ}=90^{\circ}$。由勾股定理可得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=4\sqrt{3}$。当$B=120^{\circ}$时，$C=180^{\circ}AB=180^{\circ}30^{\circ}120^{\circ}=30^{\circ}$。所以$c=a=2\sqrt{3}$。总结：已知两边及其中一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解或无解的情况，要根据大边对大角等条件进行判断。3.已知三边解三角形例3：在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=5$，$c=7$，求$A$，$B$和$C$。分析：已知三边，可直接利用余弦定理求角。解：由余弦定理$\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}$可得：$\cosA=\frac{5^2+7^23^2}{2\times5\times7}=\frac{25+499}{70}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}$，所以$A=\arccos\frac{13}{14}$。由余弦定理$\cosB=\frac{a^2+c^2b^2}{2ac}$可得：$\cosB=\frac{3^2+7^25^2}{2\times3\times7}=\frac{9+4925}{42}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}$，所以$B=\arccos\frac{11}{14}$。因为$A+B+C=180^{\circ}$，所以$C=180^{\circ}AB=180^{\circ}\arccos\frac{13}{14}\arccos\frac{11}{14}$。

（四）课堂练习（15分钟）1.在$\triangleABC$中，已知$A=60^{\circ}$，$b=4$，$c=7$，求$a$。2.在$\triangleABC$中，已知$a=8$，$b=5$，$C=60^{\circ}$，求$c$和$A$。3.在$\triangleABC$中，已知$a=7$，$b=8$，$\cosC=\frac{13}{14}$，求$c$和最大角的余弦值。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾正余弦定理的内容、推导过程及应用。2.强调解三角形的基本思路和方法：根据已知条件选择合适的定理，将已知信息转化为关于边和角的方程，进而求解未知的边和角。3.总结已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本习题[具体章节]第[具体题号]题。2.拓展作业：思考如何利用正余弦定理解决一些与三角形面积相关的