数系的扩充和复数的引入教学设计

数系的扩充和复数的引入教学设计一、教学目标1.知识与技能目标了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。掌握复数的代数表示形式及其几何意义，能进行复数的代数形式的四则运算。2.过程与方法目标通过回顾数系扩充的历史，体会数学文化的魅力，培养学生的数学思维能力和探究精神。在学习复数概念和运算的过程中，让学生经历从实数到复数的推广过程，感受类比、归纳等数学思想方法。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。体会数学知识之间的内在联系，认识到数学在实际生活中的广泛应用，提高学生学习数学的积极性。

二、教学重难点1.教学重点复数的概念、复数相等的充要条件以及复数的代数形式的四则运算。复数的几何意义，复数与复平面内点及向量的对应关系。2.教学难点对虚数单位\(i\)的理解，以及复数概念的形成过程。复数运算的算理及复数加减法的几何意义。

三、教学方法1.讲授法：通过简洁明了的语言讲解数系扩充的历史、复数的基本概念和运算规则，让学生系统地获取知识。2.讨论法：组织学生对数系扩充的必要性、复数相等的条件等问题进行讨论，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.类比法：引导学生类比实数的相关知识来学习复数，如类比实数的表示形式学习复数的代数形式，类比实数的运算学习复数的运算等，降低学生的学习难度，加深对知识的理解。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示数系扩充的历程、复数的几何意义等内容，直观形象地帮助学生理解抽象的概念，提高教学效率。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题：方程\(x+1=0\)在自然数集中有解吗？方程\(2x1=0\)在整数集中有解吗？方程\(x^22=0\)在有理数集中有解吗？2.引导学生回顾数系的扩充历程：从自然数集到整数集，增加了负整数，解决了减法运算在自然数集中不封闭的问题。从整数集到有理数集，增加了分数，解决了除法运算在整数集中不封闭的问题。从有理数集到实数集，增加了无理数，解决了开方运算在有理数集中不封闭的问题。3.提出问题：实数集能否继续扩充？扩充的方向是什么？从而引出本节课的课题数系的扩充和复数的引入。

（二）讲解新课（30分钟）1.数系扩充的必要性引导学生思考方程\(x^2+1=0\)在实数集中是否有解。通过计算可知，对于任意实数\(x\)，\(x^2\geq0\)，所以\(x^2+1\geq1\)，即方程\(x^2+1=0\)在实数集中无解。为了解决类似方程在实数范围内无解的问题，我们需要对数系进行扩充。2.复数的概念虚数单位\(i\)规定\(i^2=1\)，即\(i\)是方程\(x^2=1\)的一个解。强调\(i\)的性质：\(i^1=i\)，\(i^2=1\)，\(i^3=i^2\cdoti=i\)，\(i^4=(i^2)^2=1\)，\(i^5=i^4\cdoti=i\)，\(\cdots\)，\(i\)的幂具有周期性，周期为\(4\)。复数的定义形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的数叫做复数，其中\(a\)叫做复数的实部，\(b\)叫做复数的虚部。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作\(C\)。复数的分类当\(b=0\)时，\(a+bi=a\)，此时复数为实数。当\(b\neq0\)时，\(a+bi\)叫做虚数。当\(a=0\)且\(b\neq0\)时，\(a+bi=bi\)，此时复数叫做纯虚数。举例说明：给出一些复数，如\(3+2i\)，\(14i\)，\(5\)（可写成\(5+0i\)），\(0\)（可写成\(0+0i\)），\(2i\)（可写成\(0+2i\)）等，让学生指出它们的实部和虚部，并判断它们属于哪一类复数。3.复数相等的充要条件设\(a,b,c,d\inR\)，那么\(a+bi=c+di\Leftrightarrowa=c\)且\(b=d\)。强调：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。举例：已知\((2x1)+i=y(3y)i\)，求\(x,y\)的值。解：根据复数相等的充要条件可得\(\begin{cases}2x1=y\\1=(3y)\end{cases}\)解方程组得\(\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=4\end{cases}\)4.复数的几何意义复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，\(x\)轴叫做实轴，\(y\)轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数与复平面内点的对应关系复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）与复平面内的点\(Z(a,b)\)一一对应。例如，复数\(3+2i\)对应复平面内的点\((3,2)\)。复数与向量的对应关系复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）可以用复平面内的向量\(\overrightarrow{OZ}\)来表示，其中\(O\)为坐标原点，向量\(\overrightarrow{OZ}\)的坐标为\((a,b)\)。例如，复数\(3+2i\)对应复平面内的向量\(\overrightarrow{OZ}=(3,2)\)。向量的模与复数的模向量\(\overrightarrow{OZ}\)的模\(\vert\overrightarrow{OZ}\vert\)叫做复数\(z=a+bi\)的模，记作\(\vertz\vert\)，且\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)。例如，对于复数\(z=3+2i\)，\(\vertz\vert=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)。

（三）课堂练习（10分钟）1.若复数\(z=(m+1)+(m^29)i<0\)，则实数\(m\)的值为（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(3\)D.\(\pm3\)【答案】C【解析】因为复数不能直接比较大小，只有当复数是实数时才能比较大小，所以\(m^29=0\)且\(m+1<0\)，解得\(m=3\)。2.已知复数\(z=34i\)，则复数\(z\)的实部和虚部分别为（）A.\(3\)，\(4\)B.\(3\)，\(4\)C.\(3\)，\(4\)D.\(3\)，\(4\)【答案】A【解析】根据复数的定义，\(z=34i\)的实部为\(3\)，虚部为\(4\)。3.若复数\(z=a^21+(a+1)i\)是纯虚数，则实数\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)【答案】A【解析】因为\(z\)是纯虚数，所以\(\begin{cases}a^21=0\\a+1\neq0\end{cases}\)，解得\(a=1\)。4.复数\(z=23i\)对应的点在第____象限。【答案】四【解析】复数\(z=23i\)对应的点为\((2,3)\)，在第四象限。5.已知复数\(z_1=3+2i\)，\(z_2=14i\)，则\(z_1+z_2=\)____。【答案】\(42i\)【解析】\(z_1+z_2=(3+2i)+(14i)=42i\)。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：数系扩充的必要性。复数的概念，包括虚数单位\(i\)、复数的定义、分类等。复数相等的充要条件。复数的几何意义，复平面、复数与点及向量的对应关系，复数的模。2.强调本节课的重点和难点：重点：复数的概念、运算及几何意义。难点：对虚数单位\(i\)的理解和复数运算的算理。3.鼓励学生提出疑问，解答学生在学习过程中遇到的问题。

（五）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材第106页练习第1、2、3、4题。已知复数\(z=\frac{(1+i)^2+3(1i)}{2+i}\)，若\(z^2+az+b=1+i\)，求实数\(a,b\)的值。2.拓展作业：查阅资料，了解复数在实际生活中的应用，并撰写一篇短文。思考：复数的运算与实数的运算有哪些联系和区别？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对数系的扩充有了更深入的理解，掌握了复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的几何意义等知识。