数系的扩充和复数的概念教案

数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1.知识与技能目标了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念。掌握复数的代数表示形式，能正确识别复数的实部与虚部。理解复数相等的充要条件，并能运用其解决相关问题。2.过程与方法目标通过回顾数系扩充的历史，培养学生的数学文化素养和逻辑推理能力。借助实例引导学生从实数系的扩充中抽象出复数的概念，体会类比、归纳的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学的发展与人类文明的进步息息相关，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点复数的概念、代数形式以及复数相等的充要条件。2.教学难点对虚数单位\(i\)的理解以及复数概念的形成过程。

三、教学方法讲授法、讨论法、类比法相结合

四、教学过程

（一）新课导入（5分钟）1.引导学生回顾数系的扩充历程提问：同学们，我们在数学学习中已经接触过哪些数集呢？学生回答后，教师总结：从自然数集\(N\)开始，为了满足减法运算的需要，扩充到整数集\(Z\)；为了满足除法运算的需要，从整数集扩充到有理数集\(Q\)；再到为了表示边长为\(1\)的正方形的对角线长度等问题，从有理数集扩充到实数集\(R\)。2.提出问题引发思考教师展示方程\(x^2=1\)，问：在实数范围内，这个方程有解吗？学生思考后回答：在实数范围内无解，因为任何实数的平方都大于等于\(0\)。教师进一步引导：那我们能否像之前扩充数系那样，引入新的数来使这个方程有解呢？从而引出本节课的主题数系的扩充和复数的概念。

（二）讲解新课（25分钟）1.虚数单位\(i\)的引入教师讲解：为了解决方程\(x^2=1\)无解的问题，我们引入一个新的数\(i\)，规定\(i^2=1\)。这个数\(i\)叫做虚数单位。强调：\(i\)具有以下两条性质：\(i^2=1\)；\(i\)可以与实数进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立。2.复数的概念定义：把形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的数叫做复数，其中\(a\)叫做复数的实部，\(b\)叫做复数的虚部。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作\(C\)。举例说明：比如\(3+2i\)，这里\(a=3\)是实部，\(b=2\)是虚部；再如\(15i\)，实部\(a=1\)，虚部\(b=5\)。提问：对于复数\(a+bi\)，当\(b=0\)时，它是什么数？当\(a=0\)且\(b\neq0\)时，它又是什么数？学生思考回答后，教师总结：当\(b=0\)时，\(a+bi=a\)，它就是实数；当\(a=0\)且\(b\neq0\)时，\(a+bi=bi\)，叫做纯虚数。强调：复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）中，\(a,b\)的取值范围都是实数，这一点非常重要。3.复数的代数形式强调：复数通常用字母\(z\)表示，即\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），这叫做复数的代数形式。说明：在复数的代数形式\(z=a+bi\)中，\(a\)与\(b\)的位置不能随意颠倒，实部在前，虚部在后。4.复数相等的充要条件教师讲解：如果两个复数\(a+bi\)与\(c+di\)（\(a,b,c,d\inR\)）的实部与虚部分别相等，即\(a=c\)且\(b=d\)，那么我们就说这两个复数相等，记作\(a+bi=c+di\)。举例：已知\(2x1+(y+1)i=3x2+(2y1)i\)，求\(x,y\)的值。解：根据复数相等的充要条件，可得方程组\(\begin{cases}2x1=3x2\\y+1=2y1\end{cases}\)，解第一个方程得\(x=1\)，解第二个方程得\(y=2\)。

（三）课堂练习（15分钟）1.教材第70页练习第1、2、3题第1题：下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部。\(2+3i\)；\(3+\frac{1}{2}i\)；\(\sqrt{2}+i\)；\(\pi\)；\(\sqrt{3}i\)；\(0\)。学生独立完成后，教师进行点评讲解，强调判断方法以及实部和虚部的确定。第2题：判断下列命题是否正确：（1）若\(a,b\)为实数，则\(z=a+bi\)为虚数；（2）若\(b\)为实数，则\(z=bi\)必为纯虚数；（3）若\(a\)为实数，则\(z=a\)一定不是虚数。学生思考判断后，教师分析每个命题，加深学生对复数概念的理解。第3题：已知\((2xy+1)(y2)i=0\)，求实数\(x,y\)的值。学生独立求解，教师巡视指导，然后请学生上台展示解题过程，教师进行点评总结。2.补充练习已知复数\(z=(m^22m3)+(m^24m+3)i\)，当\(m\)为何实数时，（1）\(z\)为实数？（2）\(z\)为虚数？（3）\(z\)为纯虚数？解：（1）当\(z\)为实数时，虚部\(m^24m+3=0\)，即\((m1)(m3)=0\)，解得\(m=1\)或\(m=3\)。（2）当\(z\)为虚数时，虚部\(m^24m+3\neq0\)，即\((m1)(m3)\neq0\)，解得\(m\neq1\)且\(m\neq3\)。（3）当\(z\)为纯虚数时，实部\(m^22m3=0\)且虚部\(m^24m+3\neq0\)。由\(m^22m3=0\)，得\((m3)(m+1)=0\)，解得\(m=3\)或\(m=1\)。又因为\(m^24m+3\neq0\)，所以\(m\neq1\)且\(m\neq3\)，综上\(m=1\)。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容提问：同学们，今天我们学习了哪些知识呢？学生回答后，教师总结：本节课我们首先回顾了数系的扩充历程，然后引入了虚数单位\(i\)，进而学习了复数的概念、代数形式以及复数相等的充要条件。2.强调重点和难点重点强调：复数的概念和复数相等的充要条件是本节课的重点，大家要理解并掌握。难点回顾：对虚数单位\(i\)的理解以及复数概念的形成过程是难点，希望大家课后再思考体会。

（五）布置作业（5分钟）1.教材第71页习题3.1A组第1、2、3题第1题：写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数。\(4,23i,0,i,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,5i2\)。第2题：当实数\(m\)为何值时，复数\(z=(m^28m+15)+(m^2+3m28)i\)在复平面内对应的点：（1）位于第四象限？（2）位于\(x\)轴负半轴上？（3）位于\(y\)轴正半轴上？第3题：已知复数\(z_1=3+4i\)，\(z_2=1+5i\)，试比较它们模的大小。2.思考：数系扩充后，运算律是否仍然成立？请举例说明。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对数系的扩充和复数的概念有了初步的认识。在教学过程中，利用数系扩充的历史引入新课，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学的发展是一个不断探索和完善的过程。在讲解复数的概念时，通过实例引导学生逐步理解，注重与实数的对比，帮助学生突破了对虚数单位\(i\)的理