内蒙古通辽市2021年中考数学真题【含答案、解析】

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages66页内蒙古通辽市2021年中考数学真题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列运算正确的是（）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（）A． B．C． D．3．新冠疫情期间，某地有五家医院的医生踊跃报名驰援武汉，人数分别为17，17，18，19，21，以上数据的中位数为（）A．17 B．18 C．18.5 D．194．下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A． B． C． D．5．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）

A．3 B．4 C．5 D．66．某中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，根据题意下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，则下列说法中正确的个数是（）①若，则点D到的距离为；②；③点D在的中垂线上；④若，则．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（

）．A． B． C． D．无法确定9．如图，在矩形ABCD中，，，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作，使得，，连接CQ，则CQ长的最小值为（

）A． B． C． D．10．如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（

）A． B． C． D．二、填空题11．我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于微米的细颗粒物（即），已知微米米，此数据用科学记数法表示为米．12．2024年3月31日，郑开马拉松赛在郑开大道郑东新区举行．本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了这一岗位的遴选，其中大学生2名，快递员1名，老师1名，2名大学生恰好被录取的概率是．13．在ABC中，D、E为AB边上两点，把∠A、∠1、∠2这三个角用“>”链接起来是．14．《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．15．已知关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围.16．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是．17．如图，在第一象限中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A，C，若点A为，AB＝3，轴，则点C的坐标为．三、解答题18．（1）计算：；（2）化简：．19．（1）计算：；（2）解分式方程：．20．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子，则提出黑子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出两子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．21．如图，一艘船由西向东航行，在点处测得北偏东方向上有一座灯塔，再向东继续航行到达点处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的周围内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？22．年月日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：太空“冰雪”实验；液桥演示实验；水油分离实验；太空抛物实验．我校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：(1)本次被调查的学生有______人；扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______．(2)请补全条形统计图．(3)我校九年级共有名学生，请估计九年级学生中对液桥演示实验最感兴趣的学生大约有多少人？(4)四班被调查的学生中对太空“冰雪”实验最感兴趣的有人，其中有名男生和名女生，现从这名学生中随意抽取人进行观后感谈话，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到一男一女的概率．23．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择．甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印刷证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．（1）甲厂的制版费为__________千元，印刷费为平均每个__________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为_____________；（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个__________元；（3）当印制证书数量超过2千个时，求乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式；（4）若该单位需印制证书数量为8千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？节省费用多少元？请说明理由．24．如图，在中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F．(1)求证：直线是的切线；(2)求证：；(3)若⊙O的半径为4，，求阴影部分的面积．25．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是__________；NB与MC的数量关系是__________；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是__________；26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与x轴另一交点为B．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线的对称轴上，使得，求出点M的坐标；答案第=page88页，共=sectionpages99页答案第=page77页，共=sectionpages88页《初中数学中考试题》参考答案题号12345678910答案CCBBCADBDB1．C【分析】直接利用算术平方根、有理数的乘方、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：A．，故此选项不合题意；B．，故此选项不合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、有理数的乘方、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．2．C【详解】试题分析：A．，故错误；B．与布什同类项，不能进行合并；C．，正确；D．，故错误，故选C．考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．幂的乘方与积的乘方；4．整式的除法．3．B【分析】把一组数据按照从小到大（或从大到小）排列，若数据为奇数个，则排在最中间的数据就是这组数据的中位数，若数据的个数为偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，再根据中位数的定义可得答案．【详解】解：根据中位数的定义知，这组数据的中位数为18，故选：B．【点睛】本题考查的是中位数的概念，掌握中位数的概念是解题的关键．4．B【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【详解】解：A、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、，即，，此方程有两个相等的实数根，符合题意；C、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．5．C【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【详解】结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．故选C．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键.6．A【分析】根据增长率为x，关系式为：明年的投资额＝去年的投资额×（1+投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，由题意得：今年的投资总额为2（1+x），明年的投资总额为2（1+x）2，∴可列方程为2（1+x）2＝8，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到今、明2年的投资额的关系式是解决本题的突破点．7．D【分析】①根据题意可知为的角平分线，D到的距离和相等也是；②过D作于E，在中，所以；③，为等腰三角形，可得到结论；④可证，得到对应结论．【详解】解：①根据作图的过程可知，是的平分，故①正确．②如图，过D作于E，

在中，，∴，又∵是角平分线，∴，∴，故②正确；③∵，∴．∴点D在的中垂线上．故③正确．④∵如图，在和中，，，在等腰三角形中，为中垂线，∴，∴，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．【点睛】此题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是求解的关键．8．B【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，掌握双曲线上的两点关于原点成中心对称是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答．【详解】解：∵直线（为常数且与双曲线的交点为，，∴，关于原点对称，∴，又∵点A、点B在双曲线上，∴，∴．故选B．9．D【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示：，，，，，，，设，则，∵，，，，，，，即抛物线开口向上，当时，的最小值为，长的最小值为，故选：D【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．10．B【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D运动时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．所以当时，点P在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示．此时，在中，，，，∴，∴．由函数图象得，∴，∴．由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．当时，点P在边上，如图2，此时，，∴．∵，又∵，∴当时，的值最大，此时．故选：B．11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】，故答案为．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．先列表，找出所有等可能的结果数，再找出其中2名大学生恰好被录取结果数，利用概率公式即可求解．【详解】解：用表示两名大学生，B表示快递员，C表示老师，则列表如下：BCBC由列表可知有12种等可能的结果数，其中2名大学生恰好被录取的有2种结果，∴2名大学生恰好被录取的概率为：，故答案为：．13．∠2>∠1>∠A【分析】根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵∠1是△ACE的外角，∴∠1＞∠A，∵∠2是△CDE的外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故答案为：∠2＞∠1＞∠A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角是解题的关键．14．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，，故答案为：【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．4<a≤7【详解】；由①得x>-,由②得x≤,∴-<x≤，∵不等式组有且只有两个整数解，∴，∴16．【分析】先设的三边长为，，，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出，，，的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．【详解】如图：取的中点为，取的中点为，连接，，，设，，则①取的中点为，是直角三角形圆心在和的垂直平分线上为圆心连接，，则，为半径的中点为，的中点为，在和中，由勾股定理得：②由①②得，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解题关键在于找到圆心，用用含的式子表示和．17．【分析】根据矩形性质得到，求出反比例函数解析式，从而得到点的纵坐标为，代入解析式即可求出结果．【详解】解：反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A，，即，在矩形ABCD中A，AB＝3，则，轴，点的纵坐标为，代入反比例函数，则，解得，点C的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数综合，涉及到矩形性质、待定系数法求函数解析式、函数上点的坐标求解，熟悉矩形性质与反比例函数性质是求解问题的关键．18．（1）3；（2）【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和分式的混合计算：（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【详解】解：（1）；（2）．19．（1）；（2）【分析】（1）先通分，因式分解，然后进行除法运算即可；（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后进行检验即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：，两边同时乘以得：，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，．检验：将代入，∴是原分式方程的解．【点睛】本题考查了分式的化简，解分式方程．解题的关键在于正确的运算．20．（1）；（2）．【分析】（1）由共有“一白三黑”4个围棋子，利用概率公式直接求解即可求得答案；（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好提出“一黑一白”子的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：（1）∵共有“一白三黑”4个围棋子，∴P（黑子）=；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好提出“一黑一白”子的有6种情况，∴P（一黑一白）==．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验是解题的关键．21．这艘船继续向东航行不安全【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，证∠ACB=30°=∠BAC，根据等角对等边得出BC=AB=60，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为．根据题意可知，．∵，∴，∴，在中，，，，∴，∴，∵，∴这艘船继续向东航行不安全．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和三角函数定义是解题的关键．22．(1)，(2)见解析(3)人(4)【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，样本估计总体，画条形统计图，求扇形统计图圆心角，扇形统计图与条形统计图的综合．（1）由C类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以D类别人数所占比例即可；（2）根据四个类别人数之和等于总人数求出B对应人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例即可；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：本题被调查的学生有：（人），扇形统计图中所对应的圆心角的度数为，故答案为：，；（2）B对应的人数为：（人），补全条形统计图如下：

（3）（人），九年级学生中对液桥演示实验最感兴趣的学生大约有105人；（4）列表如下：男1男2男3女1女2男1男2男1男3男1女1男1女2男1男2男1男2男3男2女1男2女2男2男3男1男3男2男3女1男3女2男3女1男1女1男2女1男3女1女2女1女2男1女2男2女2男3女2女1女2由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的有12种，所以恰好抽到一男一女的概率为：．23．（1）1，0.5，；（2）1.5；（3）；（4）选择乙厂，节省费用500元，见解析【分析】（1）结合图象便可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，一次函数的斜率为0.5即为证书的单价；（2）用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解；（3）设函数解析式后用待定系数法解答即可；（4）分别求出甲乙两车的费用y关于证书个数x的函数，将x=8分别代入两个函数，可得出选择乙厂可省500元．【详解】解：（1）制版费1千元，y1=0.5x+1，证书单价0.5元；故答案为：1；0.5；；（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个=3÷2=1.5元，故答案为：1.5；（3）设，由图可知，函数图象经过点和，所以把和代入，得，解得：，所以与的函数关系式为；（4）当时，；（千元）即当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元．【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．24．(1)见解析(2)见解析(3)﹣4【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，由，得，从而证明结论；（2）连接，根据圆周角定理知，从而证明，即可；（3）连接，过点O作于点H，分别求出扇形和的面积，即可解决问题．【详解】（1）证明：如图，连接，则是的半径，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴直线是的切线；（2）解：连接，则，∵，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴；∴，∴；（3）解：连接，过点O作于点H，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，，∴，∴，．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明是解题的关键．25．（一）（1）∠NAB=∠MAC，BN=CM；（2）（1）中结论仍然成立，理由见详解；（二）【分析】（一）(1)结论：∠