江苏省无锡市南菁高级中学2024-2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测数学试题（含答案）

南菁高中2024-2025学年第二学期3月阶段性检测卷高二创新班数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数表达式是（）A.B.C.D.2.已知向量与是非零向量，，与的夹角为，则在在上的投影向量为（）-2B.2C.-D.3.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A．B．C．D．4.已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（

）A．B．C．D．5.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（）（参考数据：，，，）A.40米B.14米C.48米D.52米6.函数的部分图像如图所示，则=（）B.C.0D.17.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（）B．2 C． D．8.在锐角中，分别为三边所对的角．若，且满足关系式，则的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分.9.已知复数，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）A.为虚数B.若，则C.D.若，则的最小值为10.下列说法正确的是(

)A.已知直线l过点，且在x、y轴上的截距相等，则直线l的方程为

B.直线的倾斜角为

C.，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件

D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为11.已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知，，则的值为__________.13.若两条直线与圆：的四个交点能构成矩形，则m+n=______.14.如图，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最大值为____________．四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在△ABC中，已知分别是的中点，，，AD与CE交于点O．（1）若，求的值；（2）若，求AC的长．16.如图，△AOD与△BOC存在对顶角,且.证明：O为BD中点；若，求OC的长.17.已知圆和点（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程;（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值;若不存在，则说明理由;18．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．19.设正的边长为1，O为的外心，，，，为BC边上的等分点，，，，为AC边上的等分点，，，，为AB边上的等分点.当时，求的值;当时;ⅰ求的值用i，j表示ⅱ求的最大值与最小值.参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1~4AABB5~8CDDD二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.CD10.BCD11.BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】13.【答案】814.【答案】eq\f(1,4)四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本小题满分13分）【答案】（1）-2（2）【解析】（1）在中，，，，由正弦定理可得，所以．设，．因为D为BC中点，所以．又因为，所以．（2）因为分别是的中点，且与交于点，所以O为△ABC的重心，所以．又因为，．所以=，所以．因为，，所以．即，解得或（舍去），所以．16.（本小题满分15分）17.（本小题满分15分）【答案】解：当切线斜率不存在时，

显然与圆相切，

当切线斜率存在时，

设切线为，由圆心到切线的距离为1，

所以，解得，

则，整理得，

综上，切线的方程为和；

由题设，若，则，

整理得，

若存在，使为定值，

又，，

则，

整理得，

即，

整理得，

要使为定值，则，

解得，，或，，，

综上，存在定点，定值或定点，定值；（本小题满分17分）【答案】（1）（2）证明见解析（3）19.（本小题满分17分）【答案】解：当

时，

，

，……，

，

，又

为等边三角形，且边长为

1

，

O

为外接圆的圆心，

，且

，

，则

，

；ⅰ

为等边三角形，

O

为外接圆的圆心，

，则

，

，又

，

分别为

BC

，

CA

的

5

等分点，又

，

，

；，ⅱ

，

；同理可得：

；

；

；令