2024-2025学年四川省资阳市安岳中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省资阳市安岳中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(1,0)，B(2,1)，则直线AB的倾斜角为(

)A.3π4 B.2π3 C.π32.已知平面向量a=(−1,3)，b=(−3,1)A.(−3,0) B.(−32,323.抛物线y=4x2的焦点坐标是(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(0,116)4.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P(−1,0)作斜率为k (k>0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AF||BF|=1A.23 B.223 C.5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则(

)A.A与B，A与B−，A−与B，A−与B−都相互独立

B.AB−与BA6.若直线l过点(−3,−2)，且与双曲线x24−y2=1A.2x+y−8=0 B.2x+y+8=0 C.2x−y+8=0 D.2x−y−6=07.设F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，点P在CA.32 B.3 C.3或1 8.已知直线l：2x+3y=0与双曲线C：x2a2−yA.[132,+∞) B.[13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(

)A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

B.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件

C.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件

D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，A为C上第一象限的点，且|AF|=2，过点F的直线l与C交于P，Q两点，圆E：x2+A.|OA|=5

B.若|PQ|=6，则直线l倾斜角的正弦值为33

C.若△OPQ的面积为6，则直线l的斜率为±24

11.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=A.AO=12(AB+AC+AA1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.两平行直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a−2)y+a=0的距离为______．13.若圆C：x2+y2+2mx−2y=0被直线2x+y+1=014.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k(x−33)上存在一点P，圆x2+(y−1)2=1上存在一点四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC顶点A(1,2)，B(−3,−1)，C(3,−3)．

(1)求边BC上的高所在直线的方程；

(2)若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程．16.(本小题12分)

已知点A(2,2)，圆C：x2+y2=16．

(1)若点P、点Q都为圆C上的动点，且∠PAQ=90°，求弦PQ中点所形成的曲线G的方程；

(2)若直线l过点B(3,2)，且被(1)中曲线G截得的弦长为217.(本小题12分)

中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以3：0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为45．

(1)求中国队以3：0的比分获胜的概率；

(2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

(3)求至多进行四场比赛的概率．18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，AP⊥BP，BA=2，BC=1，AD=3，点E为线段PD上的动点．

(1)若平面PBC∩平面PAD=l，求证：BC//l；

(2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为36，求PEPD19.(本小题12分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，点(2,3)在E上．

(1)求E的方程．

(2)设B是双曲线E的左项点，过点(2,0)的直线l与E的右支交于P、Q两点，直线BP，BQ分别与直线x=12交于M、参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.413.214.−15.解：(1)由△ABC顶点A(1,2)，B(−3,−1)，C(3,−3)，可得kBC=−3−(−1)3−(−3)=−13，

所以其高线斜率满足kl⋅kBC=−1，即kl=3，

所以边BC的高所在直线的方程为y−2=3(x−1)，即3x−y−1=0；

(2)由直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，

可分为两种情况讨论：

当直线l过坐标原点时，k=21=2，此时直线l：y=2x，符合题意；

当直线l不过坐标原点时，由题意设直线方程为xa+y2a=1，

由l过点A(1,2)16.解：(1)设P，Q中点为M(x,y)，

在Rt△PAQ中，|AM|=12|PQ|，

在圆C中，由弦长公式可得12|PQ|=r2−|CM|2，

∴|AM|=r2−|CM|2，

即(x−2)2+(y−2)2=16−(x2+y2)，

整理得：(x−1)2+(y−1)2=6．

∵该圆的圆心(1,1)到圆C圆心的距离d=2，而4−6>2．

∴曲线G：(x−1)2+(y−1)17.解：若根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为45，

(1)设事件A=“中国队以3：0的比分获胜”，

∵中国队在每一场中获胜的概率均为45，

∴P(A)=(45)3=64125，

∴中国队以3：0的比分获胜的概率为64125；

(2)设事件B=“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：

①设事件B2=“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，

∴P(B2)=3×(45)2×15×45=192625，

②设事件B1=“中国队从第二场开始连胜三场”，

∴P(B1)=(45)3=64125，

∵B1与B2是互斥事件，

∴P(B)=P(B1∪B18.解：(1)证明：∵BC/​/AD，BC⊂平面PBC，AD⊂平面PBC，

∴BC/​/平面PBC，

又∵AD⊂平面PAD，平面PBC∩平面PAD=l，

∴BC/​/l．

(2)如图，取AB中点O，连接OP，过O作OF/​/BC交CD于点F，

∵PA=PB，∴PO⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，又∵OF⊂平面ABCD，

∴PO⊥OF，

∵BC//OF，AB⊥BC

∴AB⊥OF，

∴以O为原点，OB，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

∵BA=2，BC=1，AD=3，且AP⊥BP，∴OP=1，

∴A(−1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(−1,3,0)，

∴PD=(−1,3,−1)，

设PE=λPD=(−λ,3λ,−λ),(λ∈(0,1))，则E(−λ,3λ,1−λ)，

∴AB=(2,0,0)，AE=(1−λ,3λ,1−λ)，CD=(−2,2,0)，CP=(−1,−1,1)，

设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)，

则AB⊥n1AE⊥n1.则AB⋅n1=2x119.解：(1)由题意可知：ba=34a2−9b2=1，解得a=1b=3，

故双曲线C的方程为：x2−y23=1．

(2)由双曲线的对称性，又点B(−1,0)及点(2,0)均在x轴上，

若存在定点T，满足以MN为直径的圆过点T，则点T在x轴上．

故假设存在定点T(t,0)，使得以MN为直径