浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题2.6对数与对数函数讲含解析

PAGEPAGE1第06讲对数与对数函数讲1.理解对数的概念，驾驭对数的运算，会用换底公式.2．理解对数函数的概念，驾驭对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的改变特征.4.高考预料：（1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.5.备考重点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类探讨问题.学问点1．对数及其运算1.对数的概念（1）假如ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②；=3\*GB3③；（3）对数恒等式alogaN＝N2.对数的运算法则假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.=3\*GB3③logaab＝b(a>0，且a≠1)【典例1】（2024·山东高考模拟（文））设函数，则（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【解析】∵函数，∴=2+9=11．故选：B．【规律方法】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式1】【2025届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则（）A.-2B.2C.D.【答案】C【解析】由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，其中：，据此可得：，则.本题选择C选项.学问点2．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【典例2】（2024·北京高考模拟（理））若函数则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【重点总结】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式2】（2024·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，视察函数图像可得实数的取值范围是.故选：A.考点1对数的化简、求值【典例3】（2024·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满意，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满意,令,.故选：A.【易错提示】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中全部的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要留意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式3】则，.【答案】4，2.【解析】设，因为，因此考点2对数函数的图象及应用【典例4】（2024·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同始终角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，冲突，

对于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1冲突，C错，D正确．

故选：D．【总结提升】的底数改变，其图象具有如下改变规律：（1）上下比较：在直线的右侧，时，底大图低（靠近轴）；时，底大图高（靠近轴）．（2）左右比较（比较图象与的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【变式4】【2025届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，.所以函数单调递减，解除B，D.与的图象关于轴对称.解除A.故选A.考点3对数函数的性质及应用【典例5】【2024年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.【总结提升】比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性干脆进行推断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类探讨．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．【变式5】【2024天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【典例6】（2024·山东高考模拟（文））已知，若正实数满意，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】因为与都是上的增函数，所以是上的增函数，又因为所以等价于，由，知,当时，在上单调递减，故，从而；当时，在上单调递增，故，从而，综上所述，的取值范围是或，故选C.【技巧点拨】解对数不等式的类型及方法（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，假如a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种状况探讨．（2）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．【变式6】（2024·山东高考模拟（文））已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满意，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，则，即，解得：，即a的取值范围为；故选：C．考点4对数函数的综合应用【典例7】(2024·宜春中学、新余四中联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x＜1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是()A．(1,2] B．(－∞，2]C．(0,2] D．[2，＋∞)【答案】B【解析】当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x＜1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必需是增函数，且最大值大于或等于1，才能满意f(x)的值域为R，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＞0，,a－1＋4－2a≥1，))解得a∈(1,2]．【总结提升】应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必需弄清三方面的问题：一是定义域，全部问题都必需在定义域内探讨；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的