八上数学奥赛试题及答案

八上数学奥赛试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a-b+c=6，则b的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

2.若x²-3x+2=0，则x的值为：

A.1或2

B.2或3

C.1或3

D.2或4

3.若sin²α+cos²α=1，则sinα的值为：

A.1

B.0

C.-1

D.不确定

4.若a、b、c是等比数列，且a+b+c=9，bc=8，则a的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若sinα=1/2，cosα=√3/2，则sin(2α)的值为：

A.√3/2

B.1/2

C.-√3/2

D.-1/2

6.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a-b+c=6，则b的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

7.若x²-3x+2=0，则x的值为：

A.1或2

B.2或3

C.1或3

D.2或4

8.若sin²α+cos²α=1，则sinα的值为：

A.1

B.0

C.-1

D.不确定

9.若a、b、c是等比数列，且a+b+c=9，bc=8，则a的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

10.若sinα=1/2，cosα=√3/2，则sin(2α)的值为：

A.√3/2

B.1/2

C.-√3/2

D.-1/2

二、填空题（每题5分，共50分）

1.若sinα=1/2，cosα=√3/2，则sin(2α)的值为________。

2.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a-b+c=6，则b的值为________。

3.若x²-3x+2=0，则x的值为________。

4.若sin²α+cos²α=1，则sinα的值为________。

5.若a、b、c是等比数列，且a+b+c=9，bc=8，则a的值为________。

6.若sinα=1/2，cosα=√3/2，则sin(2α)的值为________。

7.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a-b+c=6，则b的值为________。

8.若x²-3x+2=0，则x的值为________。

9.若sin²α+cos²α=1，则sinα的值为________。

10.若a、b、c是等比数列，且a+b+c=9，bc=8，则a的值为________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.解方程：x²-5x+6=0。

2.已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a-b+c=6，求b的值。

3.已知sinα=1/2，cosα=√3/2，求sin(2α)的值。

四、应用题（每题15分，共30分）

1.一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度行驶，2小时后与从乙地出发以每小时80公里的速度行驶的汽车相遇。若两车相遇后继续行驶1小时，此时两车之间的距离是多少？

2.一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为12厘米，求该三角形的面积。

五、证明题（每题20分，共40分）

1.证明：对于任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

2.证明：对于任意实数x，有sin²x+cos²x=1。

六、综合题（每题25分，共50分）

1.已知函数f(x)=2x-3，求函数f(x)的图像。

2.一批货物由甲地运往乙地，若每天运输20吨，则需10天运完；若每天运输30吨，则需7天运完。求甲地到乙地的总距离。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.4

解析思路：根据等差数列的性质，a+b+c=3b，所以3b=12，解得b=4。

2.A.1或2

解析思路：根据一元二次方程的解法，x²-3x+2=0可以分解为(x-1)(x-2)=0，所以x=1或x=2。

3.B.0

解析思路：根据三角恒等式sin²α+cos²α=1，已知sinα=1/2，则cos²α=1-(1/2)²=3/4，所以cosα=±√(3/4)，由于题目未指明角度范围，故答案为0。

4.A.1

解析思路：根据等比数列的性质，a+b+c=a(1+r+r²)=9，bc=a²r²=8，解得a=1。

5.B.1/2

解析思路：根据二倍角公式sin(2α)=2sinαcosα，代入sinα=1/2，cosα=√3/2，得sin(2α)=2*(1/2)*(√3/2)=√3/2。

二、填空题

1.√3/2

解析思路：根据二倍角公式sin(2α)=2sinαcosα，代入sinα=1/2，cosα=√3/2，得sin(2α)=√3/2。

2.4

解析思路：根据等差数列的性质，a+b+c=3b，所以3b=12，解得b=4。

3.1或2

解析思路：根据一元二次方程的解法，x²-3x+2=0可以分解为(x-1)(x-2)=0，所以x=1或x=2。

4.1

解析思路：根据三角恒等式sin²α+cos²α=1，已知sin²α=1/2，则cos²α=1-(1/2)²=3/4，所以cosα=±√(3/4)，由于题目未指明角度范围，故答案为1。

5.1

解析思路：根据等比数列的性质，a+b+c=a(1+r+r²)=9，bc=a²r²=8，解得a=1。

三、解答题

1.解：x²-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0

x=2或x=3

2.解：a+b+c=12

a-b+c=6

2c=18

c=9

a+b=3

b=3-a

a+(3-a)+9=12

a=3

3.解：sin(2α)=2sinαcosα

sin(2α)=2*(1/2)*(√3/2)

sin(2α)=√3/2

四、应用题

1.解：设两车相遇后继续行驶1小时，此时两车之间的距离为d。

由题意得，2+1=60t

3+1=80t

t=1/20

d=(60+80)*(1/20)*1

d=5

2.解：设等腰三角形的底边长为b，腰长为c。

由题意得，b=10

c=12

S=(b*c)/2

S=(10*12)/2

S=60

五、证明题

1.证明：

左边=(a+b)²

=a²+2ab+b²

右边=a²+2ab+b²

左边=右边

所以，对于任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

2.证明：

左边=sin²x+cos²x

右边=1

因为sin²x+co