第五章定积分及其应用5习题

第五章定积分

【考试要求】

1.理解定积分的概念和几何意义,

了解可积的条件.

2.掌握定积分的基本性质.

3.理解变上限的定积分是变上限

的函数，掌握变上限定积分求导数

的方法.

4.掌握牛顿一一莱布尼茨公式.

5.掌握定积分的换元积分法与分

部积分法.

6.理解无穷区间广义积分的概念,

掌握其计算方法.

7.掌握直角坐标系下用定积分计

算平面图形的面积.

【考试内容】

一、定积分的相关概念

1.定积分的定义

J于(x)dx=

「2

记作「°f(x)dx+f(x)dx.其

-30

中/(%)叫做被积函数，/(x)dx叫

做被积表达式，x叫做积分变量，〃

叫做积分下限，匕叫做积分上限，

[Q,勿叫做积分区间.

说明：定积分的值只与被积函数及

积分区间有关，而与积分变量的记

法无关，也就是说

<brb

f{x}dx-=于（u）du

JaJaJa

2.定积分存在的充分条件（可积

的条件）

（1）设/（X）在区间［凡加上连续，

则/（%）在［〃,加上可积.

（2）设在区间出,加上有界,

且只有有限个间断点，则/（x）在区

间［Q,勿上可积.

说明：由以上两个充分条件可知，

函数/（X）在区间［凡切上连续，则

/（X）在［〃,句上一定可积；若/（X）

在［。向上可积,则/(X)在区间

句上不一定连续,故函数/(%)在

区间上连续是/(X)在上

可积的充分非必要条件.

3.定积分的几何意义

在区间［Q向上函数/(X)〉。

时，定积分「/(%)公在几何上表示

Ja

由曲线y=/(X)、两条直线％=〃、

=匕与x轴所围成的曲边梯形的面

积.

在区间［〃,切上/(x)VO时，由

曲线y=/(4)、两条直线％=〃、

=匕与X轴所围成的曲边梯形位于

X轴的下方，定积分J/(%)必:在几

何上表示上述曲边瑜形面积的负

值.

在区间以句上/(%)既取得正

值又取得负值时，函数/(%)的图形

某些部分在X轴的上方，而其他部

分在X轴的下方，此时定积分

j/(x)dx表示x轴上方图形的面

而减去X轴下方面积所得之差.

二、定积分的性质

下列各性质中积分上下限的

大小，如不特别指明，均不加限制;

并假定各性质中所列出的定积分

都是存在的.

rb

性质1.当〃=〃时,[f(x)dx=O.

Ja

性质2.

rb1

f{x}dx--\f{x}dx.

JaJb

•b

性质3.[f(x)+g(x)]dx

a

ra

=f{x)dx±g{x)dx.

JbJb

说明：该性质对于有限个函数都是

成立的.

性质4.fkf(x)dx=k\f{x}dx

JaJa

(左是常数).

性质5.

,bba

f(x)dx=\f(x)dx+f{x}dx

JaJaJc

说明：该性质称为定积分对于积分

区间的可加性.

性质6.如果在区间3,切上

/(%)三1，则

qbqb

ldx=dx=b-a.

JaJa

性质7.如果在区间［a,b］上

/(x)>0,

贝(IIf(x)dx>0

Ja

推论(1)：如果在区间切上

f{x}dx>g(x)dx

JaJa

推论(2)：f(x)dx</(x)dx

JaJa

Ca<b).

性质8.(

性质9.(定积分中值定理)如果函

数/(%)在积分区间出,切上连续，则

在(。8)上至少存在一点虞使得下

式成立：

J于(x)dx=f/Xb—a)

Ja

(〃<J<b).

说明：该公式称为积分中值公式，

]pb

=：一1/。)公称为函数

b-aJa

/(%)在区间切上的平均值.

三、积分上限函数及其导数

1.积分上限函数的定义

设函数/(兀)在区间3,团上连

续，并且设兀为切上的一点，由

于/(%)在区间3,%]上仍旧连续,因

此定积分「/(%)公存在.这里，%

Ja

既表示定积分的上限，又表示

积分变量.因为定积分与积分变量

的记法无关，所以为了明确起见，

可以把积分变量改用其

他符号，例如用，表示，则上面的定

积分可以写成「/⑺力.如果上限

Ja

X在区间出,勿上任意变动，则对于

每一个取定的％值，定积分有一个

对应值，所以它在［凡切上定义了一

个函数，记作①⑴:

rx

①(x)=/⑺力Ca<x<b)

Ja9

这个函数即为积分上限

函数(或称变上限定积分).

2.积分上限函数的导数

定理1：如果函数/(%)在区间切

上连续，则积分上限函数

■X

(D(%)=］/⑺流在句上可导，

并且它自导数

①=/⑺力=

axJa

Ca<x<b).

定理2：如果函数/(%)在区间［凡句

上连续，则函数①(%)=1f⑺力就

Ja

是/(X)在［〃/］上的一个原函数.

说明：对于积分上限函数的复合函

数①(%)=Jr(p(x)/⑴出,求导法则可

按下述公界进行：

Z7P0(X)

①'(4)=7］于⑺出=。0(创”(.

axJa

若积分下限为函数0(x)，即

①⑴二/⑺力，求导法则可按

下述公式进行：

①<%)=[「/⑺力=枭「/

dxJ9。)dxJa

*

若积分上限和下限均有函数，即

•Zz(x)

①(x)=于⑺出,求导法则可按

J°(x)

下述公式进行：

不“、」pa)

①⑴二瓦dL/⑺力二区d4。八

=《(//⑺力-「/⑺力)=/[

UiI、牛顿莱布尼茨公式

定理3：如果函数尸(x)是连续函数

/(%)在区间句上的一个原函数,

则

「/(%)公=［b(X)］：=尸3)_b(。)

Ja

这个定理表明，一个连续函数在区

间［〃,句上的定积分等于它的任一

个原函数在区间［Q,勿上的增量，这

就给定积分提供了一个有效而简

便的计算方法.通常把上述公式称

为

微积分基本公式.

五、定积分的换元法和分部积分法

1.定积分的换元法

设函数/(%)在区间勿上连续,

函数％=0⑺满足条件：

(1)cp(a)=a,(p(/3)=b;

(2)。⑺在［巴切(或［人团)上

具有连续导数，且其值域

R他=［a力］,则有

说明：应用换元公式时有两点值得

注意：①用、⑺把原来变量X

代换成新变量才时，积分限也要换成

相应于新变量/的积分限；②求出

/即⑺］。⑺的一个原函数①⑺后,

不必像计算不定积分那样再要把

①⑺变换成原来变量X的函数，而

只要把新变量/的上下限分别代入

①⑺中然后相减就行了.

例如:计算「而-x2dx（6/>0）

解：设x=asinb贝！|6/x=acos%力,

当1=0时，r=0,当％=〃时，

71

t=—

2

于是

222’121

£Ya-xdx=a2costdt=—

02

71

22

a2兀a

t+—sinIt

~T

220

2.定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法,

可得

=[M(X)V(X)[-jv(x)u\x)dx

简记作

b-

rY-『f

uvdx-uvavudx或

a-■Jaa

udv-uvT-「vdu.

aL.aJa

这就是定积分的分部积分公式.

3.定积分的两个简便公式

(1)若/(x)在［-兄回上连续且为

奇函数，贝叶/⑴公=0；若/⑴

J-a

在［一〃,〃］

上连续且为偶函数，则

J于(x)dx=2/f{x}dx.

(2)设

7171

xdx-2cos"xdxy则

n00

当〃为正偶数时，

_n-1n-3317i

］------•.................•—•--•

〃nn-2422

当〃为大于1的正奇数时,

n-1n-342

〒.口…….

六、无穷限的广义积分

1.函数在无穷区间+8）上的反

常积分

设函数/（X）在区间［d+8）上

连续，取力〉a,如果极限

lim『/（x）公存在，则称此极限为

t-Jd

函数/（X）在无穷区间［Q,+8）上的

N+oo

反常积分，记作即

a

广+°°.ct

f(x)dx-lim/(x)dx,

Ja—+ooJa

这时也称反常积分］r+oo/(x)公收

Ja

敛；如果上述极限不存在，则函数

在无穷区间［〃,+8)上的反常

r+oo

积分f/(x)办:就没有意义，习惯

Jar+8

上称为反常积分］/(X)公发散，

Ja

这时记号］f+oo/(%)为:就不再表示数

Ja

值了.

2.函数在无穷区间(-8,句上的反

常积分

设函数/（X）在区间（-8向上

连续，取/<〃，如果极限

pb

lim\/（x）为:存在，则称此极限为

—ooJt

函数/（X）在无穷区间（-8,切上的

反常积分，记作/f{x）dx,即

J—00

fib.rb

f（x）dx=limf{x}dx9

J—ooL—ooJt

这时也称反常积分「/（%）公收

J—00

敛；如果上述极限不存在，则称反

常积分「/（X）八发散.

J—00

3.函数在无穷区间（-8,+8）上的

反常积分

设函数/⑴在区间(-8,+8)

上连续，如果反常积分「/(%)公

J—00

和//(%)公都收敛，则称上述两

反常积分之和为函数/(九)在区间

(-8,+8)上的反常积分，记作

p+8

[f(x)dx9即

J—00

[•+00

广+00「0

ff{x}dx=[f(x)dx+0/(x)d

J-00J—8J

这时也称反常积分「°7(%)公收

J—00

p+oo

敛；否则就称反常积分f⑺dx

J—00

发散.

4.无穷限广义积分的计算方法

设厂(X)为在团,+8)上的一个

原函数，若lim尸⑴存在，则反常

Xf+00

积分

办=[尸(％)]；=F(+GO)-F,

9

=[F(X)L=F(b)-F(-<

9

J：f(x)dx=[F(X)]2=F(+oo)-F

■

说明：当方(-8)与方(+8)有一个不

存在时，反常积分r+o]o/(X)办:发散.

J—00

七、求平面图形的面积

1.X-型区域

X-型区域是指：平面图形是

由上下两条曲线>=/(%)、

y=g(x)(/(x)>g(x))及直线

X=〃、x=Z?所围成，面积计算公

式为

pb

A=Ja"⑴-

2.y-型区域

y-型区域是指：平面图形是

由左右两条曲线x=My)、

x=°(y)(My)2(p(y1)及直线

y二c、y=〃所围成,面积计算公

式为

A=JjO(y)-

【典型例题】

【例5・1】计算下列定积分.

n

1.[2cos5xsinxdx.

Jo

解：原式

71

n

12

5cos5xd(cosx)=——cos6%

0

60

rdnx7

2.I-----dx.

Ji%

解

r4nx7

----dx=‘‘1nxd(lnx)=In2x+si♦n

JiX

n

3.^cos2xdx.

6

解

3

4668

「17

4.-ax.

J-2(11+5X)3

解：原式

1f11-x_1

—I-----------T6/(11+5Cx)——

5J-2(ll+5x)35

71

5.[2tan2xdx.

Jo

解原式

7171

Jj(sec2x-l)dx=sec2xdx-三

Vsin3xcos2xdx

JO

3

-sin2xcosx

Jo

3

,77T1一

=sin2xd(sinx)

J0

2-

=[-sin2x]J

6.

=0—0=0

解

Vsin3x-sin5x6Zx=fVsin3xcos

0Jo

3

—COSX2-cos

2.

—sin二/一

5

7.-x2dx(a>0).

解：设x=asin/,贝！=acos，山,

当JT=O时，f=0：当x=a时，

£

-2故

)1

2■22

I-

♦o2

x+2

8.dx.

J2%+1

_____产_1

解：设J2x+1=%,则％

2

dx=tdt9且当x=0时，t—\\

当x=4时9t=3.

故

1LZ12

+3

127122

=-(—+9)-(-+3)=

233T

【例5・2】计算下列定积分.

xcosxA

0

解

xcosxdx=£xd(sinx)=[xsinx

Jo

2.f^arcsinxdx.

Jo

解

1

[2arcsinxdx-

Jo

2JoV13712L

3.ix\^xdx.

解

ee—Y2

jA:Inxdx=[inxd(—)=—Inx

2

221

e-e--(l-----

2L4244

■

4.fe^dx.

Jo

解：令G=t,贝!Ix=f9

dx-2tdt,且当x=0时，％=0；当

x=4时9t=2.

故

^e^dx=2^teldt==2]

=4/—2「dT=2/+2.

L」o

【例5-3］计算下列广义积分.

+00

e~xdx.

0

解

xf+00

广+001

2■------ax.

Ji1+x2

解

Too]

q+oo

------dx-arctanx-limarct

12.1

1+XLXf+00

+oo―^—rdx.

3.

—001+x2

解

，+oo1「+oo

------dx-arctanx=limarct

2L—00

—00l+xXf+00

71

2

•+00].]

4.—sin—dx.

?乙2

-XX

解

•+oo117r+oo•11

一「（一）=

2—sm—dx-sin—d

—J—YY

71xxJI人e/V

【例5-4]计算下列积分上限函数

的导数.

1.—[Xyll-t2dt.

dx，。

解：—fXy/l-t2dt=Vl-x2.

dxJo

2.—f%41+fdt.

dx）。

解：

12_____________________

—fV1+12dt=Jl+•（%2），=2x

dxJ。

dri

3.—Iln(l+t>)dt.

dxJsmx

解：

Hfl/7fsinx

—[ln(l+t)dt=-—\ln(l+

dx^sinxdx'i

♦J

4.—9arctantdt.

dxX

解

d

2arctantdt-arctanx3•(x3)'-a

dx

-3x2arctanx3-2xarctanx2.

【例5-5］求下列极限.

fcost2dt

1.limJo

x-0X

解：应用洛必达法贝！I,

jC0S/2由2

lim----------=lim5土=1.

x―^0xa。1

rx

arctantdt

2.lim0

x—>0

解

arctantdtarctanx1

lim-------------=lim

x—>02x2

（x-0时，arctanx-x）.

「41+fdt

Jo

3.lim2

x-0X

解

Jl+%2.2x

lim=lim

x—^0%2x-02x

（［；/流）2

4.lim

x—^0Vte^dt

Jo

解

XI*2

J力产2|建d”

lim0=limJo

〜2，

x—^0'Xte0,2dtx—^0xe

0

【例5・6】设函数

-x2

xe,x>0,

/(%)=/1

,一万<x<0,

J+cosx

「4

计算jf(x-2)dx.

解：设x—2=/S则dx=d/,且当

x=l时，t——1；当x=4时，1=2.

于是

201

j/(x-2)dx=j=J

—1—11+COS

「01

=L

2c"2」。

2

=tan------cH—•

222

【例5・7】计算定积分

’1I•2

(|x+sinx)xdx.

-1

!•11

J(%+sinx)xdx-%x2dx+

11

=2

41

【例5-8］求下列平面图形的面积.

1.计算由两条抛物线丁2=%和

y=/所围成的平面图形的面积.

解：此区域既可看成X-型区域,

又可看作y-型区域.按x-型区域

解法如下：

两曲线的交点为（。,。）和（1』），故

面积

1

2-1

S=—%2——工3

33J0

2.求由抛物线=x,直线y=一%

及y=1所围成的平面图形的面积.

解：按丫-型区域来做，先求出图

形边界曲线的交点（。,。）、（-1』）及

（1,1）,故

面积

_y2_y

s+

3.2.—Ju0

3.计算由曲线V=2x和直线

y=x-4所围成的平面图形的面

积.

解：此区域既可看成X-型区域，

又可看作y—型区域，但按y-型区

域解较为简便.先求两曲线的交

2

点，由,y=2x可解得交点为

y=x—4

(2,—2)和(8,4),故

面积

s二

乙

【历年真题】

一、选择题

1.(2010年，1分)设

x2,

9(元)=£Cedt,则°'(“)等于

()

(A)2(B)—二2

22

(C)23(D)-2S

解：

f

9'(x)=£e~fdt=e~x2*(x2)r=2x

,选项(C)正确.

2.(2010年，1分)曲线y=£与

直线y=l所围成的图形的面积为

()

/、3

(A)-(B)—

34

(C)-(D)1

3

解：曲线＞=/与曲线y=l的交点

坐标为(-1』)和(1/)，则所围图形

的面积为

1

flx3

(l-x2)dx=x-选

J—133

—1

项(C)正确.

3.(2010年，1分)定积分

JzXCOSxdr等于()

(A)-1(B)0

(C)1(D)-

2

解：因被积函数尤85%在［-2,2］上

为奇函数，故J2%80%以：=0.选

(B).

二、填空题

1.(2010年，2分)

£Vl-x2dx

解：由定积分的几何意义,

°J]-/「表示曲线y=Ji—/,

直线x=0,%=1和工轴所围成的图

1

形的面积，即一圆面积，故

4

JoJ1-%2dx=---71-=—

4

2.(2009年,2分）设

2

j=x+Inx-19则

f⑴=________

解：等式⑺力=%2+山%—i两

边对x求3可得，

J(x)=(x2+Inx-1)^=2x+—.

3.(2009年，2分)由曲线y=e]

y=e及y轴围成的图形的面积

是.

解：曲线y="与直线y=e的交点

坐标为Qe),故所围图形的面积为

1-|1

s=f(e—ex)dx=ex-ex二1.

Jo0LJo

4.(2007年,4分)积分「产

力xvl+lnx

的值等于.

解：

+2(1加。+222

%J

5.(2006年，2分)积分

x

r-2e

l-ex-----

解：

1x

f——dx=-[2---d(l-e)=

l-ex

6.(2006年，2分）

、磔1+尸）力

0

lim

xf0x-sinx

解：当xf0时，

-------力-0,x—smx-0,

Jot

故原极限为“9”型的

o

极限，应用洛必达法则可得，

ln(l+x3)

lim------=--l-i-m---------——

%-sin%1-cosx

%3

=lim——-----=2.

x-^0]2

%•—X

2

7.(2005年，3分)

jIx2(sin3x+ex)dx=.

解：xe[-l,l]^f,/sin、为奇函

数，在对称积分区间上的定积分为

零，故

x2（sin3x+ex3}dx=jx^e^dx-

三、计算题

1.（2010年，5分）求定积分

jx]nxdx.

解

reX2Y2

x\nxdx-Jlnxd（3）=—Inx

2

2212

%e「e_/el_,

2J2=22一/

2.（2010年，5分）求定积分

r1dx

Joj+h%

解

idx_pexdx_pd(/)

-Jo/，+「Joi+(/)2

0/+1

3.（2008年，5分）求定积分

n

f2xsinju/x.

Jo

解：用分部积分法，

71n

2xsinxdx=2x6/（-cosx）=-xcc

JO

=0+L[sinxlJo2=1.

4.（2008年，7分）求广义积分

广+oo_2

xe~xdx.

Jo

解：

-11+001

1+82121

[