浙教版数学八年级下册-第二章一元二次方程单元综合复习

浙教版数学（八下）第二单元综合复习一元二次方程的求解1.因式分解法：若A·B=0，则A=0或B=0.2.开平方法：形如x2=a(a≥0)，(mx＋n)2=b(m≠0，b≥0)，可用开平方法直接求解.3.配方法：口诀——除移配开求答.(系数化为1)┘4.公式法：求根公式x=EQ\F(﹣b±EQ\R(,b2-4ac),2a)（a≠0）.【习题一】(2)已知(a2＋b2－1)(a2＋b2＋3)－12＝0，求a2＋b2的值.【习题二】解方程：x2－b2＝a(3x－2a＋b).【习题三】解方程：(1)(3x＋1)2＝9(2x＋3)2；(2)(3x－11)(x－2)＝2；(3)EQ\F(x(x＋1),3)－1＝EQ\F((x－1)(x＋2),4)；(4)(EQ\R(,3)x－EQ\R(,2))(EQ\R(,3)x＋EQ\R(,2))＝x.【习题四】设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2+b2)(a2+b2+1)=12，则这个直角三角形的斜边长为___________.【习题五】如果x-3是多项式2x2-5x+m的一个因式，则m等于（）A．6B．-6C．3D．-3【习题六】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25C．4t2－4t－5＝0化为(2t－1)2＝6D．9y2＋6y－2＝0化为(3y＋1)2＝3二、根系关系1.求根关系：x＝EQ\F(﹣b±EQ\R(,b2-4ac),2a)(a≠0)2.判别式：△=b2-4ac3.韦达定理：x1＋x2=﹣EQ\F(b,a)，x1·x2=EQ\F(c,a)4.常见题型：(1)已知方程的一根，求另一根.(2)已知两数的和与积，构造一元二次方程解题.(3)求待定系数的值或取值范围.(4)求对称式和非对称式的值.【习题一】已知方程x2-5x+15=k2的一个根是2，则k的值是_________，方程的另一个根为___________.【习题二】若m为实数，方程x2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x-3=0的一个根，则x2-3x+m=0的根是___________.【习题三】现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2-3a+b，若x☆2=6，则实数x的值是_________.【习题四】若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是___________.【习题五】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求EQ\F(ab2,(a−2)2+b2−4)的值．【习题六】已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0，若一个等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长与面积．【习题七】已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【习题八】若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x2-px+k=0有两个正整数根，求kkp•（pp+kk）+kk-p+2+kp+1的值.【习题九】已知α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求α2+3β2+4β的值．【习题十】设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，求x13-4x22+19的值.

三、生活类应用1.增长（降低）率问题若基数为a，平均增长（降低）率为x，则连续增长n次后为a(1±x)n.2.数字问题=1\*GB3①有关三个连续整数（或连续奇数、连续偶数）的问题，设中间一个数为x，再根据题目中的条件用含x的代数式表示其余两个数.=2\*GB3②多位数的表示方法：a.两位数＝(十位数字)×10＋（个位数字）；b.三位数＝（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）；…3.利润问题=1\*GB3①毛利润＝售出价－进货价=2\*GB3②纯利润=售出价－进货价－其他费用=3\*GB3③利润率＝EQ\F(利润,成本)×100%4.储蓄问题=1\*GB3①利息＝本金×年（月）利润×年（月）数=2\*GB3②利息税＝利息×税率=3\*GB3③本息和＝[1＋年（月）利率×年（月）数]×本金（不计利息税）=4\*GB3④不计利息税后，且到期后又连本带利一起再存相同时间，且年利率不变时，本息和＝本金×（1＋年利率）年数【习题一】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100(1＋x)2＝81B．100(1－x)2＝81C．100(1－x%)2＝81D．100x2＝81【习题二】三个连续自然数的平方和为50，求这三个数.在这个问题中，设中间的自然数为x，则其余两个自然数为_________、_________，根据题意，可列出方程：________________________________.【习题三】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．(3+x)(4-0.5x)=15B．(x+3)(4+0.5x)=15C．(x+4)(3-0.5x）=15D．(x+1)(4-0.5x)=15【习题四】近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【习题五】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【习题六】某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【习题七】明在2013年暑假帮某服装店买卖体恤衫时发现，在一段时间内，体恤衫每件80元销售时，每天销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件，已知该体恤衫进价是每件40元，请问服装店一天能赢利1200元吗？如果设每件降低x元，那么所列方程正确的是（）A．(80-x)(20+x)=1200B．(80-x)(20+2x)=1200C．(40-x)(20+x)=1200D．(40-x)(20+2x)=1200【习题八】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1+x2)=196B．50+50(1+x2)=196C．50+50(1+x)+50(1+x)2=196D．50+50(1+x)+50(1+2x)=196【习题九】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？四、几何应用1.常用勾股定理，面积公式，图形特点，平移，数形结合，三边关系等解题.【习题一】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【习题二】某初三一班学生上军训课，把全班人数的EQ\F(1,8)排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生________人．【习题三】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644B．(100-x)(80-x)+x2=7644C．(100-x)(80-x)=7644D．100x+80x=356习题三图习题四图【习题四】如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm【习题五】一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，当AE=_____米时，有DC2=AE2+BC2．【习题六】百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价_________元，那么平均每天就可多售出_________件，现在一天可售出_________件，每件盈利_________元．【习题七】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2-1≥-1，即：3a2-1就有最小值-1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a2≤0．所以-3a2+1≤1，即：-3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=________时，代数式-2（x+1）2-1有最________值（填“大”或“小”值为______.（2）当x=________时，代数式2x2+4x+1有最________值（填“大”或“小”）值为______.（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【习题八】在长方形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A点开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以2cm/s的速度移动，点P、Q从出发开始，经过几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？浙教版数学（八下）第二单元综合复习参考答案一、一元二次方程的求解习题一.(1)m=﹣1；x1=EQ\F(﹣1＋EQ\R(,7),2)，x2=EQ\F(﹣1－EQ\R(,7),2).(2)a2+b2=3【解答】设a2+b2=n(n≥0)，则原方程变形为(n-1)(n-3)-12=0.整理，得n2+2n-15=0，即(n+5)(n-3)=0，,∴n1=﹣5（不合题意，舍去），n2=3，∴a2+b2=3.习题二.x1=2a+b，x2=a-b【解答】x2-b2=a(3x-2a＋b)x2-b2=3ax-2a2+abx2-3ax+EQ\F(9,4)-a2=EQ\F(1,4)-a2+b2+ab(x-EQ\F(3,2)a)2=(EQ\F(1,2)a+b)2∴x-EQ\F(3,2)a=EQ\F(1,2)a+b或x-EQ\F(3,2)a=-(EQ\F(1,2)a+b)∴x1=2a+b，x2=a-b.习题三.(1)x1=﹣EQ\F(8,3)，x2=﹣EQ\F(10,9)；(2)x1=EQ\F(5,3)，x2=4；(3)x1=2，x2=﹣3；(4)x1=1，x2=﹣EQ\F(2,3).习题四.EQ\R(,3)【解答】∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，设斜边为c，∴(a2+b2)(a2+b2+1)=12，根据勾股定理得：c2（c2+1）-12=0，即(c2-3)(c2+4)=0，∵c2+4≠0，∴c2-3=0，解得c=EQ\R(,3)或c=﹣EQ\R(,3)(舍去)．则直角三角形的斜边长为EQ\R(,3)．习题五.D【分析】x-3是多项式2x2-5x+m的一个因式，即方程2x2-5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m的值．习题六.B二、根系关系习题一.±3，3【解答】已知方程x2-5x+15=k2的一个根为xl=2，设另一根是x2，

则x1+x2=5，x2•x1=15-k2，则另一个根x2=3，k=±3．习题二.EQ\F(3±EQ\R(,21),2)【解答】解方程x2+3x-3=0的根是x=EQ\F(﹣3±EQ\R(,21),2)，方程x2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x-3=0的一个根，因而方程x2+3x-3=0的一个根的相反数是方程x2-3x+m=0的一个根，则x2-3x+m=0的根是﹣(EQ\F(﹣3±EQ\R(,21),2))即EQ\F(3±EQ\R(,21),2).习题三.4或-1【解答】x☆2=6，∴x2-3x+2=6，∴x2-3x-4=0，∴(x-4)(x+1)=0，∴x-4=0，x+1=0，∴x1=4，x2=-1.习题四.5【解答】∵a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，∴a2-5a+m=0①，a2-5a-m=0②，①+②，得2(a2-5a)=0，∵a＞0，∴a=5．习题五.4【解答】∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即b2-4a=0，∴b2=4a，∵EQ\F(ab2,(a−2)2+b2−4)=EQ\F(ab2,a2−4a+4+b2−4)=EQ\F(ab2,a2−4a+b2)=EQ\F(ab2,a2)，∵a≠0，∴EQ\F(ab2,a2)=EQ\F(b2,a)=EQ\F(4a,a)=4.习题六.周长=5，面积=EQ\F(EQ\R(,15),4).【解答】∵x2-（k+2）x+2k=0，∴(x-k)(x-2)=0，解得：x1=2，x2=k，∵三角形是等腰三角形，当k=1时，不能围成三角形；当k=2时，周长为5.如图：设AB=AC=2，BC=1，过点A作AD⊥BC于D，∴BD=CD=EQ\F(1,2)BC=EQ\F(1,2)，∴AD=EQ\R(,AB2−BD2)=EQ\F(EQ\R(,15),2)∴S△ABC=EQ\F(1,2)×1×EQ\F(EQ\R(,15),2)=EQ\F(EQ\R(,15),4).习题七.(1)证明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根.(2)另一根=3，周长=4+EQ\R(,10)或4+2EQ\R(,2)【解答】根据题意，得12-1×(m+2)+(2m-1)=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为EQ\R(,10)，该直角三角形的周长为1+3+EQ\R(,10)=4+EQ\R(,10)；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2EQ\R(,2)，则该直角三角形的周长为1+3+2EQ\R(,2)=4+2EQ\R(,2).习题八.1993【解答】设α、β是方程（k-1）x2-px+k=0的两个正整数根，则αβ＝EQ\F(k,k−1)＝1+EQ\F(1,k−1)，α+β＝EQ\F(p,k−1).由于α、β是正整数，故αβ也是正整数，∴1+EQ\F(1,k−1)是正整数，又因k是自然数，∴k只能为2，则αβ=2且α+β=3=EQ\F(p,p−1)，∴p=3，从而kkp•（pp+kk）+kk-p+2+kp+1=26（33+22）+22+2-3+2×3+1=1993．习题九.32【解答】∵α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，

∴α+β=-2，α•β=-7，

∴β2+2β-7=0，

∴α2+3β2+4β=（α+β）2-2α•β+2（β2+2β）=4+14+2×7=32．习题十.0【解答】由题意有x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，即x12=3-x1，x22=3-x2，所以x13-4x22+19=x1（3-x1）-4（3-x2）+19=3x1-x12+4x2+7=3x1-（3-x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=-1，∴原式=4×(-1)+4=0．三、生活类应用习题一.B习题二.x-1x+1(x-1)2+x2+(x+1)2=50习题三.A习题四.(1)20%(2)能实现【解答】(1)设每年平均增长的百分率为x．6000(1+x)2=8640，(1+x)2=1.44，∵1+x＞0，∴1+x=1.2，x=20%．(2)2012年该县教育经费为8640×(1+20%)=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．习题五.0.3或0.2【解答】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得[(3-2)-x]（200+EQ\F(40x,0.1)）-24=200．原式可化为：50x2-25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元．习题六.定价60元，进货100个【解答】设每个商品的定价是x元，由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．∴当该商品每个定价为60元时，进货100个．习题七.D习题八.C习题九.(1)25只(2)35只，1950元【解答】(1)∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，

∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，解得x1=25，x2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）．∴当日产量为25只时，每日获得利润为1750元.

(2)设每天所获利润为W，

由题意得，W=（170-2x）x-（500+30x）=﹣2x2+140x-500

=﹣2（x2-70x）-500

=﹣2（x2-70x+352-352）-500

=﹣2（x2-70x+352）+2×352-500

=﹣2（x-35）2+1950．

当x=35时，W有最大值1950元．四、几何应用习题一.C【解答】设有x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x-1）÷2=21，解得x=7或-6（舍去），∴应邀请7个球队参加比赛．习题二.56【解答】设班级学生x人，依题意，得(EQ\F(1,8))2+7=x，整理，得x2-64x+448=0，解得x1=56，x2=8，当x=8时，EQ\F(1,8)x=1，1人不能成为方阵，舍去.∴此班有学生56人．习题三.C【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．习题四.B【解答】设AC交A′B′于H，∵∠A=45°，∠D=90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，∴x•（2-x）=1，∴x=1，即AA′=1cm．习题五.EQ\F(14,3)【解答】如图，连接CD，设AE=x米，∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，∴AC=12米，∴EC=（12-x）米，∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，∴DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2，AE2+BC2=x2+36，∵DC2=AE2+BC2，∴4+(12-x)2=x2+36，解得：x=EQ\F(14,3)米．习题六.x2x20+2x40-x每件应降20元【解答】设每件童装降价x元，则(40-x)(20+2x)=1200即：x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵要扩大销售量，减少库存，∴舍去x1=10∴每件童装应降价20元．习题七.(1)-1，大，-1(2)-1，小，-1(3)设AD=x，S=