湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

机密★启用前2025年上学期3月高二大联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.3.过双曲线的左焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为，线段的中点在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.4.的展开式中，常数项等于（）A.1B.15C.D.5.下图是函数的导函数的图象，下列四个结论：①在区间上是增函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③是的极大值点；④是的极小值点.正确的是（）A.①③B.②③C.②③④D.②④6.已知为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（）A.B.C.D.7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组随机选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（）A.B.C.D.8.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.已知，则（）A.B.C.D.10.已知数列的前项和为，且，则（）A.B.C.D.数列的前项和为11.已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面上动点满足，则点的轨迹方程为__________.13.在中，内角所对的边分别为.若，则的面积为__________.14.如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，，则__________，__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔（1）将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？（2）一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？16.（15分）如图，在直五棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成分的正弦值.17.（15分）设函数.（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；（2）若在处取得极小值，求的取值范围.18.（17分）如图，设抛物线的焦点为，过点的真线与交于两点，且.记的而积分别为.（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值；（3）设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点.19.（17分）在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家，数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家，数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分.其中牛顿在《流数法与无穷级数》（TheMethodofFluxionsandInifiniteSeries）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一直继续下去，得到.一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列.（1）已知函数的零点为，求的2次近似值.（2）设函数，令，证明：，不等式恒成立.（3）函数的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列，若数列满足.（i）证明：；（ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由.2025年上学期3月高二大联考·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】D【解析】由，所以.2.【答案】C【解析】由题设，所以.3.【答案】A【解析】由题意，记的中点为，如图，由，则，所以两条渐近线相互垂直，可得，则，即，所以.4.【答案】B【解析】二项式，可得：，即.令，解得.将代入可得常数项为.5.【答案】D【解析】由题意，和时，；和时，，故函数在和上单调递减，在和上单调递增，是的极小值点，是的极大值点，故②④正确.6.【答案】A【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径，过点作圆的切线，则，则，设圆心到直线的距离为，则，故，所以的最大值为.7.【答案】A【解析】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，只需每个课题依次选三个人即可，共有种选法，最后随机选一名组长各有3种选法，故不同的分配方案的种数为.8.【答案】D【解析】连接并延长，则通过的中点，过分别向所在直线作垂线，垂足分别为，如图所示.与的面积之比为，根据三角形相似可知，则，，即，由平行四边形法则得，根据待定系数法有，则.9.【答案】BD【解析】对A：令得，故A错误；对B：，故B正确；对C：令得，又，所以，故C错误；对D：令得，又，所以，故D正确；故选：BD.10.【答案】ABD【解析】由题意得，且，可知，则为正项递增数列，得到，即，故A正确；由，则时，，又符合上式，故，当时，，故B正确；由等差数列求和公式得，则，故C错误；而，故数列的前项和为，故D正确.11.【答案】ACD【解析】令，代入可得，即，所以，令，则，即，令得，以替换，则，A选项正确；以替换，则，所以函数是周期为4的周期函数.令，则，即，所以是偶函数.因为是周期为4的周期函数，对两边求导得，即.替换，则.以替换，则，所以是周期为4的周期函数，B选项错误；由的周期为4，且.，C选项正确；因为的周期为，所以.又，两边求导得，即，所以.对两边对求导，得，即令，可得，所以，则，D选项正确.12.【答案】【解析】由满足知，点到定点与的距离之和为10，又与之间距离为，根据椭圆定义可知，该点的轨迹方程为.13.【答案】3【解析】在中，由余弦定理，得，则，于是，解得，所以的面积为.14.【答案】960【解析】设每一列等比数列的公比都为，则，则由，可得，则，故，由，得，则，故，即，故；则，则.15.【解析】（1）将4支不同的水笔和3支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，只需先将3支不同的铅笔进行全排，然后将4支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端），由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.（2）随机一次性摸出3支笔，使得摸出的三支笔中至少有1支铅笔，则铅笔的支数可以是1或2或由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种.16.【解析】（1）如图，分别取的中点，连接，则.因为，所以四边形为平行四边形，所以，同理，则，所以四边形为平行四边形，故又，所以，又平面平面，所以平面（2）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则令，可得.设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.17.【解析】（1）函数的导函数为，由题意可得曲线在点处的切线斜率为0，可得，且，解得.（2），①当时，则，此时在递增，在递减，可得在处取得极大值，不符合题意；②当时，若，则递增；若，则递减，可得在处取得极大值，不符合题意；③当时，则，此时在递减，在递增，可得在处取得极大值，不符合题意；④当时，此时在上递增，无极值，不符合题意；⑤当时，则，此时在递减，在递增，可得在处取得极小值，满足题意综上可得，的取值范围是.18【解析】（1）设，直线，由消去整理得，，由，得，即，解得，故抛物线的方程是.（2）由（1）可得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.（3）设，则直线的斜率，方程为，由消去得整理得，显然，于是，又，联立消去，得，设直线，与抛物线联立，整理得，，因此，直线恒过定点.19.【解析】（1）函数，求导得，则，而，在处的切线方程为，即.令，得，则，在处的切线为，令，得，所以的2次近似值为.（2）曲线在处的切线为，所以切线与轴交点横坐标为，当函数时，即，得，又，则.令，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则，当且仅当时等号成立.令，则，因为恒成立，所以由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以综上可知，不等式恒