山东省潍坊安丘市等四区县2024-2025学年高二12月月考数学试题

山东省潍坊安丘市等四区县2024-2025学年高二12月月考数学试题考试时间：90分钟 总分：150分 年级/班级：高二（12月月考）一、选择题（每题5分，共20分）要求：从每题的四个选项中，选择一个正确的答案。1.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，则x的值为：A.0B.1C.-1D.32.下列函数中，有最小值的是：A.y=x^2B.y=-x^2C.y=x^3D.y=-x^33.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为：A.21B.23C.25D.274.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则该圆的半径为：A.1B.2C.3D.45.已知复数z=1+i，则|z|^2的值为：A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)=log2(x+1)，则f(3)的值为：A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）要求：将正确答案填入空格中。1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)的图像开口向上，则a的取值范围是______。2.已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项an的值为______。3.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则该圆的圆心坐标为______。4.已知复数z=1+i，则z的共轭复数为______。5.已知函数f(x)=log2(x+1)，则f(0)的值为______。6.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则该数列前10项的和S10的值为______。三、解答题（每题10分，共30分）要求：写出解答过程，步骤要完整，计算要准确。7.已知函数f(x)=x^2-4x+5，求：（1）函数的对称轴方程；（2）函数在区间[2,5]上的最大值和最小值。8.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求：（1）前n项和公式S_n；（2）第10项an的值。9.已知圆的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=1，求：（1）圆心坐标和半径；（2）过圆心的直线方程。10.已知复数z=3-4i，求：（1）|z|的值；（2）z的共轭复数。四、应用题（每题10分，共20分）要求：结合实际问题，运用所学知识解决问题。11.某商品原价为m元，若每降价10%，销售量增加20%，求该商品降价n次后的售价和销售量。12.已知直线l的方程为2x-3y+1=0，求：（1）直线l与x轴和y轴的交点坐标；（2）直线l与直线3x+2y-5=0的交点坐标。五、证明题（每题10分，共20分）要求：写出证明过程，步骤要完整，逻辑要严密。13.证明：对于任意实数x，有不等式x^2+1≥2x成立。14.证明：若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的前n项和S_n为n^2+n。六、综合题（每题10分，共20分）要求：综合运用所学知识解决问题。15.已知函数f(x)=(x-1)^2+3，求：（1）函数的图像与x轴的交点坐标；（2）函数在区间[-2,4]上的单调性；（3）函数的极值。16.已知数列{an}的前n项和S_n=3n^2+2n，求：（1）数列的首项a1；（2）数列的公比q；（3）数列的第10项an。本次试卷答案如下：一、选择题（每题5分，共20分）1.B解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，由于x=-1时f(x)无定义，故x=1。2.B解析：y=-x^2的图像开口向下，有最大值。3.A解析：等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得an=21。4.C解析：将圆的方程配方得(x-2)^2+(y-3)^2=4，故半径r=2。5.A解析：|z|^2=(1+i)(1-i)=1+1=2。6.C解析：f(3)=log2(4)=2。二、填空题（每题5分，共20分）1.a>0解析：当a>0时，函数图像开口向上，有最小值。2.162解析：等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，n=5，得an=2*3^4=162。3.(2,-3)解析：圆心坐标为方程x^2+y^2-4x-6y+9=0的x和y的系数的相反数的一半，即(2,-3)。4.1-i解析：复数的共轭复数是将虚部的符号取反，故为1-i。5.0解析：f(0)=log2(1)=0。6.110解析：等差数列的前n项和公式S_n=n/2*(a1+an)，代入a1=3，d=2，n=10，得S10=10/2*(3+21)=110。三、解答题（每题10分，共30分）7.解答：（1）对称轴方程：x=-b/2a=4/2=2。（2）最大值和最小值：f(2)=1，f(5)=6，故最大值为6，最小值为1。8.解答：（1）前n项和公式：S_n=n/2*(a1+an)=n/2*(1+(1+(n-1)*2))=n^2+n。（2）第10项an的值：an=a1+(n-1)d=1+(10-1)*2=21。9.解答：（1）圆心坐标和半径：(2,-1)，半径1。（2）过圆心的直线方程：y+1=-1/2*(x-2)，化简得x+2y=0。10.解答：（1）|z|的值：|z|=√(3^2+(-4)^2)=5。（2）z的共轭复数：3+4i。四、应用题（每题10分，共20分）11.解答：设降价n次后的售价为p，销售量为q，则p=m*(1-0.1)^n，q=m*(1+0.2)^n。12.解答：（1）直线l与x轴的交点坐标：(1/2,0)，直线l与y轴的交点坐标：(0,-1/3)。（2）解方程组{2x-3y+1=0,3x+2y-5=0}得交点坐标：(3/5,2/5)。本次试卷答案如下：四、应用题（每题10分，共20分）11.解答：设降价n次后的售价为p，销售量为q，则p=m*(1-0.1)^n，q=m*(1+0.2)^n。（1）n次降价后的售价p为：p=m*(1-0.1)^n=m*(0.9)^n（2）n次降价后的销售量q为：q=m*(1+0.2)^n=m*(1.2)^n12.解答：（1）直线l与x轴的交点坐标：令y=0，代入直线l的方程2x-3y+1=0，得2x+1=0，解得x=-1/2，所以交点坐标为(-1/2,0)。直线l与y轴的交点坐标：令x=0，代入直线l的方程2x-3y+1=0，得-3y+1=0，解得y=1/3，所以交点坐标为(0,1/3)。（2）直线l与直线3x+2y-5=0的交点坐标：解方程组：2x-3y+1=03x+2y-5=0将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得：6x-9y+3=06x+4y-10=0相减得：-13y+13=0解得y=1，代入任意一个方程解得x=1，所以交点坐标为(1,1)。五、证明题（每题10分，共20分）13.解答：证明：对于任意实数x，有不等式x^2+1≥2x成立。证明思路：将不等式x^2+1≥2x移项得x^2-2x+1≥0，这是一个完全平方公式，即(x-1)^2≥0。由于平方数总是非负的，所以不等式成立。14.解答：证明：若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的前n项和S_n为n^2+n。证明思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(a1+an)，其中an是第n项。由于首项a1=1，公差d=2，所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。代入前n项和公式得S_n=n/2*(1+2n-1)=n/2*2n=n^2。六、综合题（每题10分，共20分）15.解答：（1）函数的图像与x轴的交点坐标：令f(x)=0，得(x-1)^2+3=0，解得x=1（重根），所以交点坐标为(1,0)。（2）函数在区间[-2,4]上的单调性：函数f(x)=(x-1)^2+3是一个开口向上的抛物线，对称轴为x=1。在区间[-2,1]上，函数单调递减；在区间[1,4]上，函数单调递增。（3）函数的极值：由于对称轴为x=1，函数在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=3。16.解答：（1）数列的首项a1：由数列的前n项和公式S_n=3n^2+2n，代入n=1得S_1=3*1^2+2*1=5，所以首项a1=5。（2）数列的公比q：由于数列是等比数列，所以a2/a1