2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中、洪山高中高一下学期3月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中高一下学期3月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，b=(λ,−1)，c=(μ,−1)，若(a+A.−2 B.−1 C.0 D.12.将函数fx=12sin2x−1的图像向右平移π6个单位长度后得到函数A.−π3+kπ,π3+kπ，k∈Z B.π4+kπ,π2+kπ，3.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点A.(2,2) B.(3,−1) C.(2,2)或(3,−1) D.(2,2)或(3,1)4.定义：a×b=a⋅b⋅sinθ，其中θ为向量a与b的夹角.若aA.63 B.−63 C.5.设α∈0,π2,β∈0,π2A.π4 B.π3 C.3π46.在▵ABC中，BA⋅BC=12BCA.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形7.已知|a|=2，|b|=3，则|A.[4,213] B.[4,10] C.[6,28.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、角平分线长分别是ma，ℎa，la，则下列结论中错误的是A.ma=122(b2+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列化简正确的是(

)A.cos72∘cos12∘−sin10.如图是函数fx=2sinωx+φω>0,φA.函数fx的周期是π

B.点5π12,0是函数fx图象的一个对称中心

C.直线x=2025π4是函数fx图象的一条对称轴11.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则(

)

A.△ABC的面积S=12b2sinAsinCsin三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB=a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d=

．

13.已知a=x,2x,b=−3x,2，如果a与b的夹角为钝角，则14.在边长为4的正方形ABCD中，AE=14AB,DF=FC，以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于M，N两点，如图所示．点P为弧MN上任意一点，向量四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)化简下列各式：(1)AB(2)1(3)sinα16.(本小题15分)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C+3(1)求C；(2)若c=23，▵ABC的面积为2317.(本小题15分)如图所示，在▵ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB，AC于M，N两点，设AB=λAM，AC=μAN，(M,N与点B(1)证明：λ+μ为定值；(2)求1λ+1+1μ+2的最小值，并求此时的λ18.(本小题17分)如图，正方形ABCD的边长为a(a>1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM/​/AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF=1，记∠FEC=x(0<x<π(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周长为x的函数g(x)，(i)证明：g2(ii)求g(x)的最大值；(2)求四边形AMNW面积的最小值．19.(本小题17分)(1)借助两角和与差公式证明：sinα+(2)当0<α<β<π2时，利用所给图形证明

参考答案1.B

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.D

9.BD

10.AB

11.AD

12.atan13.−∞,−114.24

15.(1)AB(2)1(3)===sin

16.(1)由cos2C+3cosC=1解得cosC=12或cosC=−2(舍又C为▵ABC内角，故C=π(2)S▵ABC=12由余弦定理c2=a解得a+b=6．故▵ABC的周长为a+b+c=6+2

17.(1)因为AD是边BC边上中线，，所以AD=又E是AD的中点，AB=λ所以AE=因为E,M,N三点共线，所以λ4+所以λ+μ=4，即λ+μ为定值；(2)由(1)λ+μ=4⇒λ+1+μ+2=7所以1=1当且仅当μ+2λ+1=λ+1所以λ=52,μ=32

18.解：(1)(i)由题知f(x)=sinxcos所以g2(ii)由(i)知(sin当且仅当sinx=cosx，即x=π4故当x=π4时，g(x)的最大值为(2)因为S四边形AMNW令t=sinx+cos令SAMNW对称轴为t=a，开口向上，由二次函数的性质知，若1<a<2，则ℎ(t)在(1,a)上单调递减，在所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a若a≥2，则ℎ(t)在所以ℎ(t)≥ℎ(综上，当1<a<2时，四边形AMNW面积最小值为当a≥2时，四边形AMNW面积最小值