2024-2025学年安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年固镇县毛钽厂实验中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各量中是向量的为(

)A.时间 B.体积 C.重力 D.密度2.“|a|=|b|”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知在▵ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sinA:sinB=1:2,a=A.1 B.2 C.2 D.4.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=b,OCA.a−b+c B.a+b5.在▵ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为b2+c2−A.30° B.45° C.60° D.90°6.已知点A−1,1，B1,2，C−2,−1，D3,4，若e是与CD方向相同的单位向量，则向量AB在CDA.−3152e B.37.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是(

)A.b=1，A=45∘，C=60∘ B.a=1，c=2，B=60∘

C.a=3，b=1，B=1208.在△ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，AP=xAB+yAQ，x>0，y>0，则1A.32 B.4 C.32+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对任意向量a、b，下列关系式中恒成立的是(

)A.a+b⋅a−b=a210.下列说法正确的是(

)A.零向量没有大小，没有方向

B.已知非零平面向量a,b，若a,b是平面所有向量的一组基底，且a+kb,ka+4b不是基底，则实数k=±2

C.已知非零平面向量a,b，若存在非零向量c使得a⋅c=b⋅c11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2A.△ABC的最短边长为4 B.△ABC的三个内角满足A+B=2C

C.△ABC的外接圆半径为4213 D.△ABC的中线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一物体在力F的作用下，由点A4,−2移动到点B5,4.已知F=3,2，则F13.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cosA=bc，则▵ABC的形状为

14.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=4,AC与BD的交点为M,N为边AB上任意一点(包含端点)，则MB⋅DN的最大值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(2,1)，|b|=25．

(1)若a/​/b，求b的坐标;

(2)若(516.(本小题15分)在锐角▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin(1)若b=2，c=3，求a的值：(2)若a2=bc，判断▵ABC17.(本小题15分)

如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距40nmile的P处有一艘走私船，走私船正以102nmile/ℎ的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海356nmile.缉私艇立即以20nmile/ℎ的速度追缉．

(1)为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉?

(2)18.(本小题17分)

如图，在四边形ABCD中，BC//AD，AD=3BC，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设AB=a，AD=b，AE=λAP(λ∈R)

(1)若A(1,1)，D(7,4)，C(2,3)，E是线段CD的中点，求与BE同向的单位向量的坐标;

(2)若DE=2EC，用a，b表示AE19.(本小题17分)

如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且AP⋅AQ=|(1)求∠PAQ的大小;(2)求△APQ面积的最小值;(3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.B

6.D

7.D

8.C

9.ABC

10.BD

11.AB

12.15

13.直角三角形

14.10

15.解：(1)因为a/​/b，设b=λa=(2λ,λ)，则|b|=(2λ)2+λ2=5|λ|=25，解得λ=±2.

因此，b=(4,2)或(−4,−2)．

(2)16.解：(1)由正弦定理，asin故sinA=再由余弦定理得，a2从而a=(2)因为A=π3结合a2=bc得b2所以▵ABC是等边三角形．

17.解：(1)假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．

在△APM中，AM=20t，PM=102t，∠P=135∘，AMsinP=PMsinA，解得sinA=12，则A=30∘，

即缉私艇应该往东偏北30∘方向追缉．

(2)18.(1)BC=13AD=(2,1)，易得B(0,2)，

又因为E是CD的中点，所以E(92,72)，

故|BE|=|(92,32)|=3102，

则与BE同向共线单位向量BE|BE|，坐标为(319.解：记∠DAQ=α，∠BAP=β，则∠PAQ=(1)解法一：∵AP⋅AQ=|PQ∴AP∴|DQ∵正方形ABCD的边长为1，∴DQ=tanα，在Rt△CQP中，CQ=1−tanα，CP=1−tanβ，得(1−tan∴1−tantan∠PAQ=∵∠PAQ∈(0,π2)解法二：cos∠PAQ=AP⋅AQ|则cos∠PAQ=x+y1+x21+y