切线长定理教案

切线长定理教案一、教学目标1.知识与技能目标理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能运用切线长定理进行相关的计算和证明。通过对切线长定理的探究，培养学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。2.过程与方法目标经历探索切线长定理的过程，让学生体会从直观感知到理性思考的数学学习方法，提高学生的数学思维能力。通过运用切线长定理解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探究活动，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神。在合作交流中，让学生体会团队合作的重要性，增强学生的自信心和责任感。

二、教学重难点1.教学重点切线长定理的理解和应用。2.教学难点切线长定理的证明及应用该定理解决相关的综合性问题。

三、教学方法1.讲授法：通过简洁明了的语言，向学生传授切线长定理的相关知识，使学生对新知识有初步的认识。2.直观演示法：利用图形、动画等直观手段，展示切线长定理的形成过程，帮助学生更好地理解定理的内涵。3.探究法：引导学生自主探究切线长定理，通过观察、分析、猜测、推理等活动，培养学生的探究能力和创新思维。4.小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，让学生在交流讨论中相互启发，共同解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。

四、教学过程

（一）导入新课1.复习回顾提问：什么是圆的切线？切线的判定定理和性质定理是什么？学生回答后，教师进行总结和强调，为学习切线长定理做好铺垫。2.情境导入展示生活中的一些实例，如自行车的刹车装置、木工师傅用角尺画圆的切线等，让学生观察并思考这些实例中与圆的切线相关的问题。提出问题：在这些实例中，我们发现从圆外一点可以引圆的两条切线，那么这两条切线有什么特点呢？这就是我们今天要学习的内容--切线长定理。通过生活实例导入新课，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

（二）探究新知1.切线长的概念引导学生阅读教材，理解切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。强调：切线长是指线段的长度，而不是切线的长度。结合图形，让学生指出圆外一点到圆的切线长，并与圆的切线进行对比，加深对切线长概念的理解。2.切线长定理的探究让学生在纸上画一个圆O，在圆外取一点P，过点P作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B。观察并思考：图中PA和PB的长度有什么关系？∠APO和∠BPO有什么关系？学生通过测量、观察等方法进行初步探究，得出PA=PB，∠APO=∠BPO的结论。教师引导学生进行逻辑推理证明：连接OA、OB，因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB（同圆的半径相等），OP=OP（公共边），根据"HL"定理，可得Rt△OAP≌Rt△OBP。所以PA=PB，∠APO=∠BPO。总结切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。用几何语言表示切线长定理：已知：PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B。求证：PA=PB，∠APO=∠BPO。证明：连接OA、OB。∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△OAP和Rt△OBP中，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO。通过学生的自主探究和教师的引导证明，让学生深入理解切线长定理的内涵，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。

（三）例题讲解例1：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形；（3）如果PA=4cm，PD=2cm，求半径OA的长。

解：（1）OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB。（2）△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP。（3）设OA=xcm，则OP=(x+2)cm。在Rt△OAP中，由勾股定理得：OA²+PA²=OP²，即x²+4²=(x+2)²。展开得：x²+16=x²+4x+4。移项化简得：4x=12，解得x=3。所以半径OA的长为3cm。

例1的讲解，让学生进一步熟悉切线长定理的应用，通过解决具体问题，培养学生运用定理进行计算和证明的能力。同时，在解题过程中，强调解题思路和步骤，规范学生的解题格式。

（四）课堂练习1.已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，PA=10cm，则⊙O的半径为（）A.5cmB.5√3cmC.10cmD.10√3cm2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OA、OB、OP，若∠AOP=65°，则∠OPB的度数为（）A.25°B.30°C.32.5°D.50°3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AB，若AB=8，PA=5，求⊙O的半径。

课堂练习的设计，旨在让学生及时巩固所学的切线长定理，通过不同形式的练习题，加深学生对定理的理解和应用能力。教师巡视指导，及时发现学生在练习中存在的问题，并进行针对性的辅导。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括切线长的概念、切线长定理及其证明过程。2.让学生谈谈在本节课中的收获和体会，如学到了哪些知识和方法，在探究过程中遇到了哪些困难，是如何解决的等。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调本节课的重点知识和难点问题，以及学习过程中应注意的事项。

通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识体系，强化重点，突破难点，培养学生的反思和总结能力。

（六）布置作业1.教材课后练习题第1、2、3题。2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数。3.思考：如果圆外一点P到圆的两条切线的夹角为α，那么圆心角∠AOB与α之间有什么关系？

作业布置既有基础知识的巩固，又有拓展延伸的思考，让不同层次的学生都能在作业中得到锻炼和提高。同时，通过思考性的问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维和探索精神。

五、教学反思本节课通过复习回顾、情境导入、探究新知、例题讲解、课堂练习、课堂小结和布置作业等环节，完成了切线长定理的教学任务。在教学过程中，注重引导学生自主探究和合作交流，让学生经历了观察、猜测、推理、验证等数学活动，培养了学生的探究能力和逻辑推理能力。通过生活实例导入新课，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

在教学方法上，综合运用了讲授法、直观演示法、探究法和小组合作学习法，多种教学方法的结合，使课堂教学更加生动有趣，提高了课堂教学效率。在例题讲解和课堂练习环节，注重引导学生分析问题，寻找解题思路，规范解题格式，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，在探究切线长定理的过程中，部分学生的参与度不够高，可能是因为问题设置不够具有启发性，或者小组合作学习的组织不够到位。在今后的教学中，应更加关注学生的主体地位，精心设计教学问题，加强小组合作学习的指导，让每个学生都能积极参与到课堂教学中来。

另外，在讲解一些综合性较强的例题时，发现部分学生对知识的综合运用能力还有待提高。在今后的教学中，应加强对学生综合运用