湖北省黄冈、华师大附中2025届高三学业水平考试试题数学试题含解析

湖北省黄冈、华师大附中2025届高三学业水平考试试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．在中，，，，为的外心，若，，，则（）A． B． C． D．3．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．∅5．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．6．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，则圆周率（）A． B．C． D．7．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．158．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．9．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A．B．C．D．10．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A． B． C． D．11．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()A． B． C． D．12．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．15．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．16．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点（1）求椭圆的方程；（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.19．（12分）已知函数的最大值为，其中.（1）求实数的值；（2）若求证:.20．（12分）已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.21．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）使得，求实数的取值范围.22．（10分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.00

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由，翻折后得到，又，则面，可知．又因为，则面，于是，因此三棱锥外接球球心是的中点．计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．故选：C.本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．2．B【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，过分别做，的平行线，，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，，由题可知，所以，，所以.故选：D.本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.3．C【解析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.4．B【解析】试题分析：由集合A中的函数y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函数考点：交集及其运算．5．D【解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).6．A【解析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.【详解】由，∴.故选：A本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.7．A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.8．A【解析】

设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.【详解】设，，其中，，即关于轴对称故选：本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.9．D【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．10．B【解析】

利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【详解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故选：B.本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.11．C【解析】

根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，，解得，所以，所以，所以.故选：C.本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.12．C【解析】

化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．【详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。【详解】由，得，作出可行域，如图所示：平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。由，解得，代入直线，得。本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。14．【解析】

根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.【详解】解：因为函数,关于的不等式的解集是的两根为：和；所以有：且；且；；故答案为：本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.15．【解析】

先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【详解】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.故答案为4本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．16．【解析】

根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，，即，同理可得：，，，点的轨迹方程为．故答案为：．本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2），（2），的最大整数是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为2，因为，，为等比数列，所以，化简计算得，，从而得到数列的通项公式，再计算出，，，从而可求出数列的通项公式；（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；（3）由题意可知，，即，这个可看成一个数列的前项和，再写出其前（）项和，两式相减得，，利用同样的方法可得.【详解】解：（2）由题，当时，，即当时，①②①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．故是从第二项的等差数列，公差为2．又恰为等比数列的前3项，故，解得．又，故，因为也成立．故是以为首项，2为公差的等差数列．故．即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，故．综上，（2）令，则所以数列是递增的，若对均满足，只要的最小值大于即可因为的最小值为，所以，所以的最大整数是2．（3）由，得，③④③-④得，⑤，⑥⑤-⑥得，，所以存在这样的数列，此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．（1）（2）或【解析】

（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为联立，消元整理得，，由，解得设弦中点坐标为，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，即，解得或本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）当时，取得最大值.（2）证明:由（1）得，，，当且仅当时等号成立，令，则在上单调递减当时，.本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.20．（1）；（2）或.【解析】

（1）求出，由，建立方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在的图象，即可求解.【详解】（1），由题意知，解得（舍去）或.（2）当时，故方程有根，根为或，+0-0+极大值极小值由表可见，当时，有极小值0.由上表可知的减函数区间为，递增区间为，.因为，.由数形结合可得或.本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推