3.3.2 抛物线的几何性质（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）

教学目标3.3.2抛物线的几何性质教学目标1.理解抛物线的性质；2.能根据要求求出抛物线的范围、对称轴、准线方程和焦点坐标过程与方法.教学重难点教学重点：抛物线的性质教学重难点教材分析教学难点：利用抛物线性质解决简单的实际问题．教材分析教学工具本节课是三种圆锥曲线的最后一种，研究抛物线的简单几何性质，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了抛物线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.教学工具教学过程教学过程（一）情境导入前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？【设计意图】复习知识，并为本节课的学习作铺垫.（二）探索新知1.范围在方程中，y²=2px

中，由p>0，y²≥0，可知x≥0．这表明，抛物线在y

轴的右侧，如图所示．当x的值增大时，y²的值也随着增大，即|y|

的值增大这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性在方程中，将y换成-y，方程不改变．这说明，抛物线关于x轴对称．一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴．3.顶点在方程中，令y=0，得x=0．因此，抛物线的顶点为原点．一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点．4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e．由抛物线的定义知，e=1．为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形.【设计意图】探究与发现体现数学知识的应用.（三）典例剖析例1.根据条件，求抛物线的标准方程．（1）关于y轴对称，且过点P(4，-2)；（2）对称轴为坐标轴，且过点P(10，5)．解：（1）由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上．设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4，-2)代人方程，得42=-2p×(-2)，解得p=4．

因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；（2）设所求抛物线的标准方程为：y²=2p1x或x2=-2p2y．将点P的坐标(10，5)分别代人上述两个方程，得5²=2p1×10或102=-2p2×5，解得p1=54或p=10故抛物线的标准方程为y²=52x或x2=20y当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论．例2.用“描点法”画出抛物线y²=4x的图形．分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.解：当y≥0时,抛物线的方程可以变形为在[0,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形.例3.建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑．2021年年底，我国高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图（1）所示的隧道．已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，试建立平面直角坐标系，求抛物拱形线的方程．解：以抛物线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py．设拱形的两个端点分别为点A、B．则由拱高为2m和跨度为6m可得A、B两点的坐标分别为(-3，-2)、(3，-2)．把点B的坐标代入方程x²=-2py，可得p=94因此,拱形纵截线所在的拋物线方程为【设计意图】例1要强调不明确抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论；例2作图时，利用了抛物线的轴对称性，要注意直观想象素养的培养；例3是抛物线的实际应用问题.（四）巩固练习1.根据下列条件分别求抛物线的方程：(1)准线方程为；(2)经过点(－3，1)．解：（1）由题意得焦点在y轴的负半轴上，所以设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．因为，所以p＝，故抛物线的方程为.（2）当焦点在x轴的负半轴上时，设其方程为y2＝－2px(p>0)，代入点(－3，1)得p＝，此时方程为y2＝－x；当焦点在y轴的正半轴上时，设其方程为x2＝2py(p>0)，代入点(－3，1)得p＝，此时方程为x2＝9y.2．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（

）A． B． C．6 D．7解：由题意得：抛物线准线方程为，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设点纵坐标为，则，解得：.故选：D3．已知过抛物线C：的焦点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A、B两点，则________.解：抛物线C：的焦点，则直线，由得：，所以.故答案为：84．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程.解：以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示

设抛物线的方