第二十七章　相似　综合评价卷 2024-2025学年数学人教版九年级下册

第二十七章相似一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列各选项:①两个边长不等的等边三角形;②两个边长不等的正方形;③两个边长不等的菱形;④两个斜边不等的等腰直角三角形.其中两个图形一定相似的有(C)A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④2.已知四边形ABCD∽四边形EFGH,且AB=3,EF=4,FG=5.则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为(C)A.3∶4 B.3∶5 C.4∶3 D.5∶33.如图,把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,则位似中心可以是(B)A.G点 B.F点 C.E点 D.D点4.如图,在△ECD中,∠C=90°,AB⊥EC于点B,AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,则CD的长是(C)A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.35.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠BAC,则添加下列条件后,不能判定△ADC和△BAC相似的是(C)A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.ACBC=CDAC D.AD6.如图,AB∥CD∥EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错误的是(D)A.DGBG=12 B.CDEF=12 C.CGCF=17.(2024烟台期末)一种燕尾夹如图①,图②是闭合状态时的示意图,图③是打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图②闭合状态到图③打开状态,点B,D之间的距离减少了(A) ①② ③A.25mm B.20mm C.15mm D.8mm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度为(D)A.5 B.2 C.4 D.259.在平面直角坐标系中,将一个直角三角形如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-1x(x<0),y=9x(x>0)的图象上,则A.13 B.3310 C.101010.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=22,E,F分别是AD,CD的中点,连接BE,BF,EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(C)A.2 B.94 C.52 二、填空题(每小题3分,共18分)11.四条线段a,b,c,d成比例,其中a=1cm,b=3cm,c=3cm,则线段d=9cm.

12.(成都中考)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是2∶5.

13.如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=2314.(2024石家庄期末)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明眼睛到台阶DE的距离为1.6米,则凉亭的高度AB约为8.5米.

15.(锦州中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,AC交于点F.若AB=6,则△AEF的面积为3.

16.如图,CE垂直平分▱ABCD的边AB,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:①四边形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF∶BE=2∶3;④S四边形AFOE∶S△COD=2∶3.其中正确的结论有①②④.(填写所有正确结论的序号)

三、解答题(共52分)17.(6分)如图,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,AE=3.(1)求EC的长;(2)求证:AD·AG=AF·AB.(1)解:∵DE∥BC,∴ADAB=AEAC.又∵ADAB∴3AC=1(2)证明:∵DE∥BC,EF∥CG,∴ADAB=AEAC=AFAG,∴AD·18.(7分)(2024威海期末)如图的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点B的对应点B1的坐标;(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的坐标;(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,其中点B的对应点B1的坐标为(3,1).(2)如图,△A2B2C2即为所求,点B的对应点B2的坐标为(2,-6).(3)点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标为(-2a,-2b).19.(8分)(2024青岛期中)如图①,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.【问题解决】如图②(示意图),小亮在P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.①②解:由光的反射定律,得∠CPD=∠BPA.∵DC,AB均垂直于CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99米.答:塔的高度AB是99米.20.(9分)(2024泰安模拟)如图,点P在△ABC的外部,连接AP,BP,在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,连接PQ.(1)求证:AC·AP=AB·AQ;(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系,并说明理由.(1)证明:∵∠1=∠BAC,∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,∴∠CAQ=∠BAP.又∵∠2=∠ABP,∴△CAQ∽△BAP,∴ACAB=AQ∴AC·AP=AB·AQ.(2)解:∠PQA=∠ACB.理由:∵AC·AP=AB·AQ,∴APAB=AQ又∵∠1=∠BAC,∴△APQ∽△ABC,∴∠PQA=∠ACB.21.(10分)(2023温州)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.(1)求证:BE=CF;(2)当ABFH=5(1)证明:∵FH⊥EF,GE=GH,∴GE=GF=GH,∴∠GFE=∠E.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,∴△ABF≌△DCE(AAS),∴BF=CE,∴BF-BC=CE-BC,即BE=CF.(2)解:∵FH⊥EF,∠BCD=90°,∴CD∥FH,∴△DCE∽△HFE,∴ECEF=CD∵CD=AB,∴CDFH=ABFH=设BE=CF=x,∵BC=AD=4,∴CE=x+4,EF=2x+4,∴x+42x22.(12分)(1)尝试:如图①,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,C′,连接BB′,CC′,图中有哪对三角形相似(非全等)?给出证明.(2)拓展:如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,C′,连接BB′,CC′,若BB′=8,求CC′的长.(3)应用:如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠ABC=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一周,在旋转过程中,当点B的对应点B′恰好落在Rt△ABC的BC边所在的直线上时,直接写出此时点C的运动路径长.①②③解:(1)△ABB′∽△ACC′.证明如下:∵△AB′C′是由△ABC旋转得到的,∴∠BAC=∠B′AC′,AB=AB′,AC=AC′,∴∠BAC+∠CAB′=∠B′AC′+∠CAB′,即∠BAB′=∠CAC′,ABAC=AB∴△ABB′∽△ACC′.(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,∴根据勾股定理,得AB=AC2+BC2同(1)可证△ABB′∽△ACC′,∴ABAC=BB∴CC′=AC·BB'(3)∵在Rt△ABC中,AB=2,∠ABC=30°,∴AC=12AB=1,∠BAC=60°当点B