2024-2025学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词（3）教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词（3）教学实录新人教A版必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容为全称量词与存在量词（3），涉及新人教A版必修第一册高中数学第一章“集合与常用逻辑用语”中的相关内容。

2.教学内容与学生已有知识的联系紧密。学生在之前的学习中已掌握了集合的概念和运算，以及全称量词与存在量词的基本含义。本节课在此基础上，进一步引导学生掌握全称量词与存在量词的否定、等价关系和命题的否定等知识点，有助于提高学生的逻辑思维能力和推理能力。核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过全称量词与存在量词的应用，提高学生分析和解决问题的能力。

2.增强学生的数学抽象思维，使学生能够从具体情境中抽象出数学概念，形成严谨的数学语言。

3.培养学生的数学建模意识，让学生学会将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识包括集合的基本概念、集合运算（并集、交集、补集）、元素与集合的关系，以及全称量词和存在量词的基本含义。此外，学生还应具备一定的逻辑推理能力和符号运算能力。

2.在学习兴趣方面，学生对数学学科普遍持有积极的态度，尤其对逻辑推理和解决问题充满好奇。在学习能力上，学生已具备一定的抽象思维能力，能够理解抽象概念。在学习风格上，多数学生偏好通过实际例子和问题解决来学习，但也有一部分学生可能更倾向于理论学习。

3.学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战包括：理解全称量词与存在量词的否定和等价关系时，可能会混淆概念；在将实际问题转化为数学问题时，可能会缺乏相应的建模能力；此外，学生在面对复杂逻辑推理时，可能会感到难以把握推理的脉络。针对这些困难，教师应提供充分的例题和练习，帮助学生逐步克服。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解全称量词与存在量词的定义、性质和应用，帮助学生建立清晰的概念框架。

2.讨论法：组织学生就典型例题进行讨论，鼓励学生提出问题和不同观点，培养批判性思维。

3.练习法：通过设计多样化练习，巩固学生对全称量词与存在量词的应用能力。

教学手段：

1.多媒体课件：利用PPT展示教学内容，配合动画和图表，增强直观性和趣味性。

2.教学软件：运用几何画板等软件演示集合运算和逻辑推理过程，提高学生动手操作能力。

3.互动平台：利用在线教学平台，开展实时讨论和作业提交，增强课堂互动和反馈。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：教师通过提出与日常生活相关的数学问题，如“如何确定一个班级中所有学生都完成了作业？”来引发学生的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾集合的概念、元素与集合的关系以及全称量词和存在量词的基本用法。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解全称量词与存在量词的否定、等价关系以及命题的否定等知识点，通过板书和PPT展示。

-举例说明：通过具体的数学例子，如证明一个集合中所有元素的性质，来帮助学生理解全称量词和存在量词的应用。

-互动探究：组织学生分组讨论，针对某一数学问题，运用全称量词和存在量词进行逻辑推理，培养学生的合作能力和问题解决能力。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：发放练习题，让学生独立完成，题目涵盖不同难度，旨在巩固学生对全称量词和存在量词的理解和应用。

-教师指导：巡视课堂，观察学生解题过程，对学生的疑问进行个别指导，确保学生能够正确理解和应用所学知识。

4.课堂小结（约5分钟）

-教师总结：回顾本节课的重点内容，强调全称量词和存在量词在数学证明和问题解决中的重要性。

-学生反馈：请学生分享他们在课堂上的学习心得和遇到的困难，教师根据学生的反馈进行总结和补充。

5.作业布置（约5分钟）

-布置课后作业：包括一定数量的练习题和思考题，要求学生在课后巩固所学知识，并尝试解决一些实际问题。

-作业要求：强调作业的完成质量和提交时间，鼓励学生认真对待，并鼓励他们互相帮助。

6.课后反思（约5分钟）

-教师反思：课后对教学过程进行反思，总结教学效果，分析学生在学习过程中遇到的问题，为今后的教学提供改进方向。

-学生反思：鼓励学生在课后反思自己的学习过程，思考如何提高学习效率，并记录下自己的学习心得。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度：

-学生能够准确理解和掌握全称量词与存在量词的定义、性质和应用。

-学生能够区分全称量词与存在量词的否定、等价关系，并能够正确运用这些关系进行逻辑推理。

-学生能够熟练运用全称量词和存在量词进行命题的否定，以及从命题的否定推导出原命题。

2.能力提升：

-学生在逻辑推理能力方面得到显著提升，能够运用全称量词和存在量词解决复杂的数学问题。

-学生在数学抽象思维方面得到锻炼，能够从具体情境中抽象出数学概念，形成严谨的数学语言。

-学生在数学建模能力方面得到提高，能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决。

3.学习兴趣和主动性：

-学生对全称量词与存在量词的学习产生了浓厚的兴趣，愿意主动探索相关知识点。

-学生在课堂讨论和练习中表现出较高的主动性，积极参与课堂活动，提出问题和不同观点。

-学生在学习过程中逐渐养成自主学习的习惯，能够独立完成课后作业，并主动寻求帮助。

4.应用能力：

-学生能够将全称量词和存在量词应用于实际问题中，如证明数学定理、解决集合问题等。

-学生在解决数学问题时，能够灵活运用全称量词和存在量词，提高解题效率。

-学生在日常生活中，能够运用所学的逻辑推理方法，分析问题和做出判断。

5.团队合作能力：

-学生在小组讨论和合作中，学会了倾听他人意见，尊重不同观点，提高了团队协作能力。

-学生在解决问题时，能够与他人共同分析问题、提出解决方案，培养了合作精神。

-学生在课堂展示和分享中，学会了表达自己的观点，提升了沟通和表达能力。

6.自我评价和反思能力：

-学生能够对自己的学习过程进行自我评价，总结经验教训，为今后的学习提供借鉴。

-学生在遇到困难时，能够反思自己的学习方法，调整学习策略，提高学习效果。

-学生在学习过程中，逐渐形成了良好的学习习惯，如按时完成作业、主动复习等。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾本节课的主要内容，包括全称量词与存在量词的定义、性质以及它们在数学证明中的应用。

2.强调全称量词与存在量词的否定、等价关系以及命题的否定是本节课的重点，提醒学生注意这些概念之间的区别和联系。

3.指出学生在课堂讨论和练习中表现出的优点，如逻辑推理能力的提升、问题解决能力的增强等。

4.对学生在学习过程中遇到的困难给予总结，如对概念理解不够深入、逻辑推理不够严谨等，并提出相应的改进建议。

当堂检测：

1.问答环节：教师针对本节课的重点内容提出问题，如“什么是全称量词？什么是存在量词？”等，让学生回答，检验学生对基本概念的理解。

2.练习题：发放一份包含多种类型的练习题的试卷，题目涉及全称量词和存在量词的应用，包括选择题、填空题和解答题。

-选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如“下列命题中，哪个命题是全称命题？”

-填空题：考察学生对全称量词和存在量词的否定、等价关系的应用，如“若命题‘对于所有的x，P(x)’为真，则命题‘存在一个x，使得P(x)不成立’的否定是__________。”

-解答题：考察学生对复杂问题的解决能力，如“证明：对于任意实数x，若x>0，则x^2>0。”

3.课堂讨论：组织学生就某一数学问题进行讨论，要求学生运用全称量词和存在量词进行逻辑推理，培养学生的合作能力和问题解决能力。

4.作业反馈：对学生的作业进行点评，指出作业中的优点和不足，鼓励学生在课后继续巩固所学知识。板书设计①全称量词与存在量词的定义

-全称量词：表示对所有元素都满足某种性质的量词，常用符号“∀”表示。

-存在量词：表示至少存在一个元素满足某种性质的量词，常用符号“∃”表示。

②全称量词与存在量词的性质

-全称命题：如果全称量词所涉及的每一个元素都满足命题P，则全称命题为真。

-存在命题：如果存在量词所涉及的至少一个元素满足命题P，则存在命题为真。

③全称量词与存在量词的否定

-全称命题的否定：存在至少一个元素不满足命题P。

-存在命题的否定：对于所有的元素，命题P都不成立。

④全称量词与存在量词的等价关系

-全称命题与存在命题的等价关系：全称命题的否定与存在命题的否定等价。

⑤命题的否定

-命题的否定：将原命题中的“是”改为“不是”，或将“不是”改为“是”。

⑥全称量词与存在量词的应用

-在数学证明中，使用全称量词和存在量词来表述和证明命题。

-在解决集合问题时，运用全称量词和存在量词来描述集合元素的性质。典型例题讲解1.例题：

设集合A={x|x为实数，x^2-4x+3=0}，求集合A中所有元素的和。

解：首先解方程x^2-4x+3=0，得x=1或x=3。

因此，集合A={1,3}，所以集合A中所有元素的和为1+3=4。

2.例题：

若命题“对于所有的x属于实数，x^2≥0”为真，则它的否定命题是什么？

解：原命题为全称命题，否定后变为存在命题。

否定命题为：“存在一个实数x，使得x^2<0”。

3.例题：

已知命题“对于所有的x属于实数，x+1>0”为假，求该命题的否定。

解：原命题为全称命题，否定后变为存在命题。

否定命题为：“存在一个实数x，使得x+1≤0”。

4.例题：

若命题“对于所有的x属于实数，x^2=0当且仅当x=0”为真，则它的否定命题是什么？

解：原命题为全称命题，否定后变为存在命题。

否定命题为：“存在一个实数x，使得x^2=0但x≠0”。

5.例题：

设集合B={x|x为实数，x^2-2x+1>0}，求集合B中所有元素的取值范围。

解：解不等式x^2-2x+1>0，得(x-1)^2>0。

由于平方项总是非负的，因此不等式成立当且仅当x≠1。

所以集合B中所有元素的取值范围为x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。

这些例题涵盖了全称量词与存在量词的基本应用，包括命题的否定、集合的元素性质以及不等式的解法。通过这些例题的讲解，学生能够更好地理解全称量词与存在量词在数学证明和问题解决中的重要作用。教学反思与改进哎，这节课上完了，心里总是有个小九九，得好好想想。咱们这节课主要是讲全称量词与存在量词，这俩家伙在数学里可是挺重要的，得让学生们明白它们是怎么一回事。

我得先说说上课的情况。学生们看起来挺认真的，回答问题也积极。但是，我发现有些学生对于全称量词和存在量词的否定和等价关系还是有点迷糊。这就让我意识到，我得在课堂上多花点时间，把这些概念讲得更清楚，最好能通过一些例子让学生们直观地感受到。

还有啊，我在课堂上给的练习题可能还不够多，有些学生课后反馈说作业有点难，我觉得这是好事，但也要考虑到不同学生的接受能力。我得调整一下，准备一些不同难度的练习题，让每个学生都能找到适合自己的练习。

反思了一下，我觉得有几个地方可以改进：

1.加强课堂互动。我发现有些学生上课的时候不太爱发言，我得想办法让他们更多地参与到课堂讨论中来。比如，我可以设计一些小组活动，让他们在小组里讨论问题，这样既能提高他们的参与度，也能锻炼他们的团队协作能力。

2.优化例题讲解。我准备了一些例题，但我觉得还可以再增加一些，特别是那些能够帮助学生理解全称量词和存在量词在实际问题中的应用