2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程（教学用书）教学实录 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程（教学用书）教学实录新人教A版选修2-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课以双曲线及其标准方程为主要内容，通过实际案例引入，帮助学生理解双曲线的性质和方程特点，结合课本内容，引导学生掌握双曲线的标准方程及其求解方法，为后续学习圆锥曲线的其他性质和方程打下基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过引入实际问题，引导学生抽象出双曲线的几何特征，发展数学抽象能力；通过推导双曲线的标准方程，锻炼逻辑推理和数学建模能力；通过解决方程问题，提升数学运算的准确性和效率。学情分析进入高中数学选修2-1课程的学生，大多已具备一定的几何和代数基础知识，能够理解和应用平面直角坐标系中的方程。在知识层面上，学生已熟悉二次函数和圆的方程，对曲线方程的概念和求解方法有一定了解。在能力方面，学生的抽象思维能力逐渐增强，但面对双曲线这样较为复杂的曲线时，可能会遇到理解和应用上的困难。

学生的层次差异主要体现在对数学概念的理解深度、解题技巧的掌握程度以及对数学问题的探究能力上。部分学生可能在几何图形的直观理解和方程的推导上表现出色，但在数学运算和逻辑推理上存在不足。此外，学生在行为习惯上存在个体差异，有的学生可能对数学学习有浓厚的兴趣，主动探究；而有的学生则可能对数学学习缺乏信心，容易产生畏难情绪。

这些学情特点对课程学习有直接影响。首先，教师在教学中需关注学生的个体差异，提供分层教学，确保每个学生都能跟上课程进度。其次，通过实际案例和问题解决，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神和解决问题的能力。最后，通过适当的教学方法和练习，帮助学生克服运算和推理上的困难，提高数学运算的准确性和逻辑推理的严密性。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括《高中数学》选修2-1教材和相关练习册。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如双曲线的图形展示、标准方程的推导过程等。

3.教学工具：准备直尺、圆规等几何工具，用于辅助学生进行几何作图和验证。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括分组讨论区，以便进行小组合作学习。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，例如，让学生预习双曲线的定义和性质。

设计预习问题：围绕双曲线及其标准方程，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何根据双曲线的定义确定其焦点位置？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解双曲线的基本概念和性质。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问，如对双曲线方程的推导过程产生疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处，以便教师了解学生的预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示双曲线的实际应用案例，如卫星轨道的形状，引出双曲线课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解双曲线的标准方程及其推导过程，结合实例帮助学生理解，如通过抛物线的标准方程类比推导双曲线方程。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，共同探讨双曲线的性质和方程特征。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“双曲线的渐近线如何确定？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题，如“双曲线的离心率如何计算？”

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作学习，共同解决预习中的疑问。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如“双曲线的对称性有何特点？”勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据双曲线及其标准方程，布置适量的课后作业，如求解特定条件下的双曲线方程，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与双曲线相关的拓展资源，如数学竞赛题目、历史背景介绍等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给予反馈和指导，如指出解题过程中的逻辑错误。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，如独立推导双曲线的焦点坐标。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，如在线数学论坛，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，如如何提高解题速度和准确性。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

《圆锥曲线的历史与应用》：介绍圆锥曲线的历史发展、数学性质及其在物理学、工程学中的应用，如卫星轨道的设计、光学系统的优化等。

《解析几何的发展》：探讨解析几何的基本概念、发展历程以及与圆锥曲线的关系，引导学生了解数学学科的内在联系。

《双曲线的几何性质与应用》：详细阐述双曲线的几何性质，如渐近线、离心率、焦点等，并举例说明双曲线在实际问题中的应用。

《双曲线的数值解法》：介绍双曲线方程的数值解法，如牛顿迭代法、二分法等，帮助学生掌握数学问题的求解方法。

《双曲线的计算机辅助设计》：探讨双曲线在计算机辅助设计中的应用，如图形设计、动画制作等，激发学生对数学与计算机结合的兴趣。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

（1）学生可以尝试利用所学知识，推导出双曲线的渐近线方程，并验证其正确性。

（2）让学生探究双曲线在不同参数下的几何性质，如离心率、焦点距离等，并总结规律。

（3）鼓励学生尝试解决实际问题，如根据给定的双曲线方程，求出其焦点坐标和渐近线方程。

（4）组织学生进行小组讨论，分享各自对双曲线的理解和发现，提高学生的团队合作能力。

（5）引导学生思考双曲线在生活中的应用，如建筑设计、光学系统等，激发学生对数学的应用意识。

（6）推荐学生阅读相关书籍和论文，如《圆锥曲线及其应用》、《解析几何的发展》等，拓宽学生的知识面。板书设计①重点知识点：

-双曲线的定义

-双曲线的标准方程

-双曲线的几何性质（如焦点、顶点、渐近线等）

②关键词：

-双曲线

-标准方程

-焦距

-离心率

-渐近线

-焦点坐标

③重点句子：

-双曲线的定义：平面内到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值是常数。

-双曲线的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（焦点在x轴上）

-双曲线的离心率：\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

-双曲线的渐近线方程：\(y=\pm\frac{b}{a}x\)重点题型整理1.题型一：双曲线的标准方程求解

题目：已知双曲线的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，顶点坐标为V(-a,0)，求双曲线的标准方程。

答案：根据双曲线的定义，双曲线上任意一点P到两个焦点的距离之差等于2a。设P(x,y)为双曲线上任意一点，则有：

|PF1|-|PF2|=2a

|√[(x+c)^2+y^2]-√[(x-c)^2+y^2]|=2a

由于焦点在x轴上，所以y=0。将y=0代入上式，得：

|√[(x+c)^2]-√[(x-c)^2]|=2a

|c+x-(c-x)|=2a

2x=2a

x=a

因此，双曲线的标准方程为：

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

其中，b^2=c^2-a^2。

2.题型二：双曲线的渐近线方程求解

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的渐近线方程。

答案：根据双曲线的定义，双曲线的渐近线是过顶点且斜率为±(b/a)的直线。因此，双曲线的渐近线方程为：

y=±(b/a)x

3.题型三：双曲线的焦点坐标求解

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的焦点坐标。

答案：根据双曲线的定义，焦点到顶点的距离为c，其中c^2=a^2+b^2。因此，双曲线的焦点坐标为：

F1(-c,0)和F2(c,0)

4.题型四：双曲线的离心率求解

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的离心率e。

答案：根据双曲线的定义，离心率e是焦点到顶点的距离c与实轴半长a的比值，即：

e=c/a

由于c^2=a^2+b^2，代入上式得：

e=√(a^2+b^2)/a

5.题型五：双曲线与直线相交问题

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，直线方程为y=kx+m，求直线与双曲线的交点坐标。

答案：将直线方程代入双曲线方程，得到关于x的二次方程。解这个