2023-2024学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

-2024学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为．2．已知两点，，以为直径的圆的标准方程为．3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是．4．直线与直线平行，则．5．两条直线，夹角的大小是．（结果用反余弦函数值表示）6．若直线和直线垂直，则．7．在双曲线中，的取值范围是．8．双曲线的焦点坐标是．9．求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为．10．已知两条直线；，当两直线夹角在变动时，则的取值范围为．11．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为．12．已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13．方程表示圆的充要条件是A． B．或 C． D．14．圆的圆心到直线的距离为A． B． C． D．215．“的二项展开式中的系数为80”是“或”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知，分别是椭圆的左，右焦点，，是椭圆上两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．已知两条直线，，求分别满足下列条件时的值：（1）与相交；（2）与重合．18．在△中，，，．（1）建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程；（2）求△的重心到边所在直线的距离．19．双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．（1）若的倾斜角为，△是等边三角形，求的值；（2）设，若直线的斜率等于2，求、两点的横坐标之和．20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．（1）求证：△是等边三角形；（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；（3）若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．21．（18分）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．（1）求证：；（2）求抛物线的方程；（3）过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案BBCC一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为．解：由题意可知：，，即，，则，且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为．故答案为：．2．已知两点，，以为直径的圆的标准方程为．解：圆的直径为线段，圆心坐标为，半径．圆的标准方程为．故答案为：．3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是．解：联立两圆方程，解得或，即可得这点的坐标为．故答案为：．4．直线与直线平行，则．解：当时，即时，不满足题意；当时，即时，不满足题意；当且时，两直线斜率均存在，需满足，解得或．又当时，与重合，不合题意；当时，与平行，满足题意．故答案为：．5．两条直线，夹角的大小是．（结果用反余弦函数值表示）解：设直线与直线的夹角为，由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为，直线的斜率，其方向向量可以为，所以，所以直线与直线的夹角为．故答案为：．6．若直线和直线垂直，则10．解：直线的斜率为，直线的斜率为，由两直线垂直可得，解得．故答案为：10．7．在双曲线中，的取值范围是，，．解：由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是，，．故答案为：，，．8．双曲线的焦点坐标是．解：根据双曲线方程可得：，则，因为焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标是．故答案为：．9．求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为．解：联立，解得交点．设垂直于直线的直线的方程为，把代入上式可得：．要求的直线方程为：．故答案为：．10．已知两条直线；，当两直线夹角在变动时，则的取值范围为，，．解：直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．的斜率的取值范围是，，，即的取值范围为，，故答案为：，，11．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为．解：由椭圆可得，由双曲线可得，所以，又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立；所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立；故答案为：．12．已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为．解：的圆心为，半径，的圆心为，半径，设，则，，所以，取，，则，当，，三点共线时取等号，此时直线：，令，则，．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13．方程表示圆的充要条件是A． B．或 C． D．解：由知或．故选：．14．圆的圆心到直线的距离为A． B． C． D．2解：将圆化为标准方程，得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为．故选：．15．“的二项展开式中的系数为80”是“或”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：因为的展开式中的系数为，所以或，所以“的二项展开式中的系数为80”是“或”的充要条件．故选：．16．已知，分别是椭圆的左，右焦点，，是椭圆上两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．解：连接，设，则，，，，即，在中，，即，，，则，，，在△中，，即，，，又，．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．已知两条直线，，求分别满足下列条件时的值：（1）与相交；（2）与重合．解：（1）直线，，当，即且时，与相交，（2）由（1）知当或时，直线平行或重合，经验证当时，两直线重合．18．在△中，，，．（1）建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程；（2）求△的重心到边所在直线的距离．解：（1）在△中，，，，则，则所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系：所以，，则边所在直线的方程为，化简可得：；（2）由于，，，所以△的重心坐标为，即重心，所以△的重心到边所在直线的距离．19．双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．（1）若的倾斜角为，△是等边三角形，求的值；（2）设，若直线的斜率等于2，求、两点的横坐标之和．解：（1）设双曲线的焦距为，则可得，当的倾斜角为时，不妨设，，如下图所示：将点代入可得，又；解得；由△是等边三角形可得，即，联立解得或（舍；所以可得；（2）当时，双曲线方程为，此时又直线的斜率等于2，所以直线方程为，不妨设，，，，联立直线和双曲线方程，整理可得，显然△，由韦达定理可得，即，两点的横坐标之和为16．20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．（1）求证：△是等边三角形；（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；（3）若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．解：（1）证明：设，，由，，则，，因为，所以，解得：，故，由，，则，即，所以，则，又因为，所以△是等边三角形；（2）由（1）知，，故，此时点，又△为直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为，所以，解得：，，，所以椭圆的方程为：．（3）若，则，，所以椭圆的方程为：，则，，，①当直线与轴不重合时，设直线方程为，，，，，则，，，则，由，化简得：，则有，因为，所以，因为，，化简得：，即，即，则，所以直线的斜率．②当直线与轴重合时，则，，所以，不满足题意．综上所述，直线的斜率．21．（18分）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，