2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分。1．若，则．2．已知随机变量服从二项分布，则．3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为．4．已知，则的值为．5．已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则．6．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如图所示，成绩都在，内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为．7．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．8．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则．9．如图，棱长为1的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是．①与为异面直线；②与平面所成角的正切值为；③过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积相等；④线段在底面的射影长为．10．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．12．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。13．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合14．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为A．5 B．6 C．7 D．815．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件16．下列结论正确的有A．若随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96 D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项．18．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面．（2）若与平面所成的角为，求点到平面的距离．19．（16分）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算．（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数（精确到个位）；（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米时的车辆数为，求的数学期望．附注：若，则，，．参考数据：．20．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．（1）设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程；（2）过的直线与相交于点、、三点，求证：．21．（18分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，，且，设过点的直线与椭圆交于，两点（不与，两点重合）且直线．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：，的交点的纵坐标为定值；（3）求直线，，围成的三角形面积的最小值．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案BCBB一、填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分。1．若，则6．解：，，即，由题意可得，，解得且，，解得．．故答案为：6．2．已知随机变量服从二项分布，则．解：表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为，．故答案为：．3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为．解：设圆锥的底面半径为，则，即，圆锥的高为，则该圆锥的体积．故答案为：．4．已知，则的值为．解：展开式的通项公式为，展开式中的值为．故答案为：．5．已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则．解：由点在圆内，所以，又，解得，过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为，又，，所以，解得，故答案为：．6．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如图所示，成绩都在，内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为85．解：因为，参赛成绩位于，内的频率为，第75百分位数在，内，设为，则，解得，即第75百分位数为85．故答案为：85．7．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是36．解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；故答案为36．8．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则．解：根据题意，由事件表示“乙获得比赛胜利”，可得，事件表示“比赛进行了七局”，可得，所以．故答案为：．9．如图，棱长为1的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是①②③．①与为异面直线；②与平面所成角的正切值为；③过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积相等；④线段在底面的射影长为．解：对于①，因为平面，平面，平面，所以与为异面直线，故①正确；对于②，因为平面平面，所以与平面所成角即与平面所成角，连接，由题意知平面，故是与平面所成角，在△中，，故②正确；对于③，过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积关系，即为平面截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，故③正确；对于④，取中点，连接，，则且底面，所以底面，所以的长为线段在底面的射影长，在△中，，故④错误．故答案为：①②③．10．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为．解：用，1，表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，则，且，，两两互斥，，，，，，，第二次训练时恰好取到1个新球的概率为：（B）．故答案为：．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．解：由，可设，，点在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，即，得，则，，在△中，，由余弦定理得，化简得，即，解得．则双曲线的渐近线方程为．故答案为：．12．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为81．解：12条棱的中点，任选3个点都不共线，则有个平面，其中4个点共面有个，6点共面有4个，重复的有．所以共有个．故答案为：81．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。13．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或，重合解：因为，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，若，则，所以选项正确；若，则或，所以选项错误；若，则，所以选项正确；若，则或，重合，所以选项正确．故选：．14．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为A．5 B．6 C．7 D．8解：由已知可得，则抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：．15．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件解：由题意，与互斥但不对立，故错；事件有，，，，共5种，则，事件有，，，共4种，则，其中事件有共1种，事件有，共2种，，则，所以与相互独立，故对；，所以与不独立，故错；因为与可同时发生，所以与不互斥，故错．故选：．16．下列结论正确的有A．若随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96 D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差解：对于，若随机变量，则，则，故错误；对于，若随机变量，则，所以，所以，故正确；对于，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为，故错误；对于，不妨设两层数据分别为，，，，，，，，因为，所以总体平均数，则，，所以总体方差为，则，只有，或时才有，否则，故错误．故选：．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项．解：（1）由题可得展开式的通项为，令，则第2项的系数为，令，则第3项的系数为，所以第2项的系数与第3项的系数之比为，解得：．（2）由（1）知，所以展开式的通项为，令，解得，故常数项为．18．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面．（2）若与平面所成的角为，求点到平面的距离．【解答】证明：（1）过作，为垂足，如图所示，平面，平面，，四边形为直角梯形，，，且四边形为正方形，，，，，在中，，，，平面，平面，平面．解：（2）过作，为垂足，如图所示，由（1）知平面．平面，，平面，平面，平面，点到平面的距离即为线段的长，平面，与平面所成的角为，为与平面所成的角，且，由（1）知在中，，，即点到平面的距离为．19．（16分）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算．（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数（精确到个位）；（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米时的车辆数为，求的数学期望．附注：若，则，，．参考数据：．解：（1）由题意可得，样本中的这1000辆机动车的平均车速．（2）由题意其中，，所以，（ⅰ）因为，所以，所以该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数的估计值为．（ⅱ）车速低于85千米时的概率为，而，所以20．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．（1）设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程；（2）过的直线与相交于点、、三点，求证：．解：（1）因为曲线与轴有，两个交点，所以，由题设可得，解得，故椭圆方程为：，双曲线方程为．由直线过点和，得，则，即．（2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，联立，整理得：，，即且，解得：或，即．联立，整理得：，，解得：或，即．所以，所以，所以．21．（18分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，，且，设过点的直线与椭圆交于，两点（不与，