（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题03二项式定理 （1个知识点3个拓展2个突破7种题型4个易错点）（原卷版）

专题03二项式定理（1个知识点3个拓展2个突破7种题型4个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二项式定理拓展1.求二项展开式的特定项拓展2.二项式系数的性质与赋值问题拓展3.多项式的展开式问题突破1.展开式系数最大项问题突破2.与二项式定理有关的问题【方法二】实例探索法题型1.二项展开式中的特定项、项的系数题型2.多个二项展开式中的特定项、项的系数题型3.二项式系数的对称性与增减性题型4二项式系数和题型5.展开式系数的和题型6.与杨辉三角有关的问题题型7.二项式定理的应用（整除问题）【方法三】差异对比法易错点1.未能正确理解二项展开式中的项与项数易错点2.未能正确转化三项式问题而致误易错点3.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项致误易错点4.混淆二项式系数与展开式系数致误【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二项式定理一、二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．二、二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.三、二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性与最大值增减性：当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1例1．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64.(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.拓展1.求二项展开式的特定项1．（2024·全国·模拟预测）二项式的展开式中，项的系数是．拓展2.二项式系数的性质与赋值问题2．单选题（2024上·黑龙江·高二校联考期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6拓展3.多项式的展开式问题3．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是.突破1.展开式系数最大项问题1．多选题（2024上·辽宁丹东·高二统考期末）已知二项式的展开式中，则（

）A．含项的系数为6 B．第5项为常数项C．各项系数和为64 D．第3项的二项式系数最大突破2.与二项式定理有关的问题2．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）（1）求证：；（2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：.（3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数.【方法二】实例探索法题型1.二项展开式中的特定项、项的系数1．（2024上·上海·高二校考期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数．(1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项；(2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数．题型2.多个二项展开式中的特定项、项的系数2．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）若多项式，则．题型3.二项式系数的对称性与增减性3．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足．(1)求展开式中系数最大的项；(2)求展开式中所有有理项．题型4二项式系数和4．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为．题型5.展开式系数的和5．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）已知，若.(1)求的值；(2)求的值.（结果可以用幂指数表示）题型6.与杨辉三角有关的问题6．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（

）A． B． C． D．题型7.二项式定理的应用（整除问题）7．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.(1)求的值；(2)设，求被6除的余数.【方法三】差异对比法易错点1.未能正确理解二项展开式中的项与项数1．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为．（用数字作答）易错点2.未能正确转化三项式问题而致误2．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则的展开式中的系数为.易错点3.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项致误3．多选题（2024上·黑龙江·高二校联考期末）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．易错点4.混淆二项式系数与展开式系数致误4．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）设的小数部分为，则.【方法五】成果评定法一、单选题1．（2021下·全国·高三校联考阶段练习）二项式的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．2．（2021下·北京·高二北京八十中校考期中）若二项式的展开式中的系数是84，则实数（

）A．2 B． C．1 D．3．（2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）设的小数部分为x，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021上·北京·高三北京市八一中学校考期末）的展开式中的系数为（）A． B． C． D．5．在展开式中，含的项的系数是A．36 B．24 C．－36 D．－246．（2023·广东·统考二模）在的展开式中，所有有理项的系数之和为（

）A．84 B．85 C．127 D．1287．（2022上·山东青岛·高三统考开学考试）在的展开式中，常数项为（

）A．80 B． C．160 D．8．（2020上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（

）A．8 B．10 C．-8 D．-10二、多选题9．（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是(

)A．的展开式中，的系数为30B．将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种C．已知，则D．记，则10．（2023下·江苏连云港·高二统考期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能值为（

）A．6 B．7 C．8 D．911．（2022上·重庆·高三重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数和为128C．展开式中项的系数为21D．展开式中有3项有理项12．（2023·高二单元测试）在二项式展开式中，下列说法正确的是（）A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64C．有理项共有4项 D．常数项为第五项三、填空题13．（2023下·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期中）在的展开式中，含项的系数为14．（2021下·广东广州·高二统考期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为．15．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）设的小数部分为，则.16．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）的展开式中的系数为．四、解答题17．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.18．（2021·高二课时练习）已知.（1）当n＝6时，求的值；（2）化简：.19．（2021·高二课时练习）已知．(1)写出的展开式；(2)化简．20．（2021·高二课时练习）设函数.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）若，（为虚数单位），求值：①；②.21．（2022上·高二单元测试）我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次