2017年数学高考题分类解析考点16 正弦定理和余弦定理

高考试题分类解析PAGE考点16正弦定理和余弦定理选择题1.(2017·全国乙卷文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=QUOTE2,则C=()A.QUOTEπ12 B.QUOTEπ6 C.QUOTEπ4 D.QUOTEπ3【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTE2sinCsinQUOTEA+π4=0,所以A=QUOTE3π4.由正弦定理QUOTEasinA=QUOTEcsinC得=QUOTE2sinC,即sinC=QUOTE12,得C=QUOTEπ6,故选B.【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.2.(2017·山东高考理科·T9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用,意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.二、填空题3.(2017·全国丙卷·文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.【命题意图】本题考查正弦定理,考查学生运算求解的能力.【解析】由题意:=,即sinB===,结合b<c可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°4.(2017·全国甲卷文·T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.【命题意图】正弦定理和三角恒等变换,意在考查学生的转化和化归能力及运算求解能力.【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0<B<π,所以B=.答案:【方法技巧】有关解三角形的问题(1)此题型为高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题.(2)解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”.三、解答题5.(2017·北京高考理科·T15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理=,所以sinC==×sin60°=×QUOTE32=QUOTE3314.(2)当a=7时,c=QUOTE37a=3,因为sinC=,c<a,所以cosC=QUOTE1-sin2C=,在△ABC中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA×sinC=×+QUOTE12×=,所以S△ABC=ac×sinB=QUOTE12×7×3×=6.【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式.2.看到边a,b,c的平方关系想到余弦定理的变形形式.6.(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+QUOTE3cosA=0,a=2QUOTE7,b=2.(1)求c.(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【命题意图】本题主要考查正弦定理和余弦定理,考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)因为sinA+QUOTE3cosA=0,所以sinA=-QUOTE3cosA,所以tanA=-QUOTE3.因为A∈(0,π),所以A=QUOTE2π3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入a=2QUOTE7,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.(2)由(1)知c=4.因为c2=a2+b2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC,所以cosC=QUOTE277,所以sinC=QUOTE217,所以tanC=QUOTE32.在Rt△CAD中,tanC=QUOTEADAC,所以QUOTE32=QUOTEAD2,即AD=QUOTE3.则S△ADC=QUOTE12×2×QUOTE3=QUOTE3,由(1)知S△ABC=QUOTE12·bc·sinA=QUOTE12×2×4×QUOTE32=2QUOTE3,所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=2QUOTE3-QUOTE3=QUOTE3.7.(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【命题意图】考查三角恒等变换、三角形面积公式以及余弦定理,意在考查学生的化归思想方法和求解运算能力.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB),上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=QUOTE1517,(2)由cosB=QUOTE1517得sinB=,故S△ABC=QUOTE12acsinB=QUOTE417ac,又S△ABC=2,则ac=,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4,所以b=2.【方法技巧】有关解三角形的问题(1)此题型为高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题.(2)解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意a+c,ac,a2+c2三者的关系.8..(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【命题意图】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.【解析】(1)因为△ABC面积S=QUOTEa23sinA且S=bcsinA,所以QUOTEa23sinA=QUOTE12bcsinA,所以a2=bcsin2A,由正弦定理得sin2A=sinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=.(2)由(1)得sinBsinC=QUOTE23,又cosBcosC=,因为A+B+C=π,所以cosA=cosQUOTEπ-B-C=-cosQUOTEB+C=sinBsinC-cosBcosC=,又因为A∈QUOTE0,π,所以A=QUOTEπ3,sinA=,cosA=,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①,由正弦定理得b=QUOTEasinA·sinB,c=QUOTEasinA·sinC,所以bc=QUOTEa2sin2A·sinBsinC=8②由①②得b+c=QUOTE33,所以a+b+c=3+QUOTE33,即△ABC的周长为3+QUOTE33.【反思总结】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如y=Asin(ωx+φ)+b,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.9.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=QUOTE35.(1)求b和sinA的值.(2)求sinQUOTE2A+π4的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)△ABC中,a>b,sinB=QUOTE35,所以cosB=QUOTE45,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=13,所以,b=QUOTE13,由正弦定理得,sinA=QUOTEasinBb=QUOTE31313.(2)由(1)知sinA=QUOTE31313,又a<c,cosA=QUOTE21313,sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-,所以,sinQUOTE2A+π4=sin2AcosQUOTEπ4+cos2AsinQUOTEπ4=QUOTE7226.【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角A、角B的余弦值为负值的情况,从而导致错误的结果.10.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及QUOTEasinA=QUOTEbsinB,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=QUOTEb2+c2-a22bc=QUOTE-55acac=-QUOTE55.(2)由(1)可得sinA=QUOTE255,代入asinA=4bsinB,得sinB=QUOTEasinA4b=.由(1)知,A为钝角,所以cosB=QUOTE1-sin2B=QUOTE255,于是sin2B=2sinBcosB=QUOTE45,cos2B=1-2sin2B=QUOTE35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=QUOTE45×QUOTE-55-QUOTE35×QUOTE255=-QUOTE255.11.(2017·山东高考文科·T17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.【命题意图】本题考查向量的数量积公式、三角形面积公式和余弦定理的应用,意在考查考生的转化与化归的能力和运算求解能力.【解析】因为·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.12.(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【命题意图】本题主要考查三角函数和正