CHART4-带权的插值型求积公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

带权插值型求积公式其中为[a,b]上权函数。3/21/20251yfnie@第1页3/21/20252yfnie@第2页带权插值型求积公式(2)代数准确度最少为n次3/21/20253yfnie@第3页求积公式

含有2n+2个待定参数

能否经过节点以及求积系数选择将代数准确度提更高，即超出n次，最高能到达多少次？5Gauss型求积公式3/21/20254yfnie@第4页也就是说不论节点及其系数怎样选择，求积公式精度不可能到达2n+2次。

讨论续不论怎么选择节点，总存在多项式3/21/20255yfnie@第5页若

是上一组互异节点，且求积公式到达2n+1次代数精度，则称该求积公式为Guass型求积公式，其求积节点

（k=0,1,…,n）称为高斯点，系数

称为高斯系数。Gauss型求积公式定义3/21/20256yfnie@第6页①．高斯型求积公式一定是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定。直接利用代数准确度定义求得高斯点以及高斯系数需要解非线性方程组，很困难。当高斯点确定后，能够用基函数插值方法或者解线性方程组方法求得。②．高斯型求积公式是精度最高求积公式。

结论3/21/20257yfnie@第7页高斯点确定以后，高斯系数也能够由以下插值型求积公式中系数公式确定：

确定.即可由线性方程组3/21/20258yfnie@第8页求积公式最少含有n次代数准确度充要条件是它是插值型

充分性：假如求积公式为插值型，利用截断误差知对于任意次数

n多项式f(x),有R[f]=0，故求积公式最少含有n次精度。引理3/21/20259yfnie@第9页必要性：设求积公式含有n次代数精度。

用n次插值函数，仍有，依据插值型求积公式定义知，其求积公式为插值型求积公式。

必要性证实3/21/202510yfnie@第10页定理：插值型求积公式中节点是高斯点充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点n+1次多项式与任意次数不超过n多项式P(x)带权正交，即高斯点选取定理3/21/202511yfnie@第11页必要性：证实：

设是高斯点，于是对任意次数不超出n多项式P(x)，次数不超出2n+1

充分性

：对任意次数不超出2n+1多项式f(x)用除商为p(x),余项为q(x)。对任意次数不超出n多项式P(x)有3/21/202512yfnie@第12页充分性所给求积公式是插值型，其代数精度最少为n。

即求积公式含有2n+1次代数精度，从而是一组高斯点。3/21/202513yfnie@第13页当

为正交多项式系中n+1次多项式取，则有n+1个互异零点，且对任意次数不超出n多项式有

[a,b]上带权正交n+1次多项式零点就是高斯型求积公式一组高斯点。由正交多项式性质知它在开区间上存在n+1个互不相同零点。

Remark3/21/202514yfnie@第14页①.高斯型求积公式是收敛。②.高斯型求积公式是稳定。（j=0,1,…n）

故高斯求积系数Aj一定为正。高斯公式是稳定。高斯型求积公式收敛性和稳定性注：收敛性论证需用Weierstrass定理。3/21/202515yfnie@第15页高斯型求积公式截断误差定理：

设在内只有2n+2阶导数，则高斯型求积公式余项为：证实：

设为满足Hermite插值多项式，则次数。3/21/202516yfnie@第16页因为高斯型求积公式代数精度为2n+1，故

高斯型求积公式含有代数精度高、且总是收敛、稳定优点。也可结构复化高斯求积公式。3/21/202517yfnie@第17页1.高斯—勒让德求积公式

几个特殊高斯型求积公式3/21/202518yfnie@第18页当积分区间为时，可经过变换将变换为

高斯点为n+1次切比雪夫多项式零点：

高斯—切比雪夫求积公式3/21/202519yfnie@第19页高斯—拉盖尔求积公式3/21/202520yfnie@第20页高斯-埃尔米特求积公式3/21/202521yfnie@第21页例：求高斯型求积公式系数及节点解：对函数类f(x)=1，积分公式准确成立。高斯型求积公式结构举例

3/21/202522yfnie@第22页求解方法设高斯点是二次函数零点.3/21/202523yfnie@第23页

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数值微分6.1插值法建立求导公式：插值型求导公式以离散数据近似表示插值多项式导数作为未知函数导数近似3/21/202524yfnie@第24页两点公式3/21/202525yfnie@第25页三点公式（等距节点）3/21/202526yfnie@第26页3/21/202527yfnie@第27页3/21/202528yfnie@第28页如二阶三点公式高阶导数数值微分公式3/21/202529yfnie@第29页6.2Taylor展