2025届高考数学专题八平面向量精准培优专练文

PAGEPAGE13培优点八平面对量一、平一、平面对量的线性运算例1：如图，三个半径为的圆两两外切（，，为圆心），且等边的每一边都与其中的两个圆相切，则．【答案】【解析】由题意易得，所以．二、平二、平面对量的坐标运算例2：已知对随意平面对量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针旋转角得到点．若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，顺时针旋转时，，代入得，，即，∵，∴，故选A．三、平三、平面对量数量积例3：如图在矩形中，，，点为的中点，点在上，若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】选基向量和，由题意得，，，∴，∴，即，解得，∵点为的中点，，∴，，∴．故选B．四、平四、平面对量和三角形函数，解三角形的综合例4：在中，，，，是的内心，若，其中，，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，依据题意知，点在以，为邻边的平行四边形内部，∴动点的轨迹所覆盖图形的面积为，在中，，，，∴由余弦定理得，，解得或（舍去），又为的内心，所以内切圆半径，又，∴，∴动点的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为A．五、平五、平面对量和平面几何的综合例5：在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，∵动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，∵，，∴，∴，∴，∴圆的方程为，设点的坐标为，∵，所以，∴，，∴，其中，∵，，故的最大值为，故选A．对点对点增分集训一、选择题1．梯形中，且，则（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得．故选C．2．在中，是边所在直线上随意一点，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵中，是边所在直线上随意一点，∴存在实数，使得，即，化简得，∵，∴结合平面对量基本定理，得，解之得，．故选C．3．已知两点，，若直线上存在点满意，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，，由，得，∴点的轨迹为一个以原点为圆心，为半径的圆，因在直线上，故圆心到直线的距离，故，故选C．4．已知，且，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，，，且，又，取中点为，可得，∵，∴的终点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在点处，的最小值为；当点在的延长线时，的最大值为，∴的取值范围是，故选A．5．若为所在平面内随意一点，且满意，则的形态为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】，即，∵，∴，即，∴是等腰三角形，故选A．6．长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，即，即，故，（当且仅当时，等号成立）；故，故的最大值为．7．过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得圆心坐标满意，即，可知圆心在直线上运动，则．设，则，易知函数在上为增函数，所以．故选C．8．如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设（，），则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设．因为，所以，即，所以，所以，则．由题意知动点的运动区域为内（含边界），因此平行于直线的直线经过点时，取得最大值，即，故选D．9．如图，在中，，，为上一点，且满意，若的面积为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且，，三点共线，可知，，故．以点为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当，即时取“”）．故的最小值为．故选B．10．已知，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，∵，∴，∴，，∴，当且仅当，即时，取等号，由可得，由可得，∴的最大值为，最小值为．则的范围是．故选D．11．在平面内，定点，，，满意，，动点，满意，，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，∴到，，三点的距离相等，是的外心，，∴，同理可得，，，从而是的垂心，∴的外心与垂心重合，因此是正三角形，且是的中心，，∴正三角形的边长为，∴以为原点建立直角坐标系，，，三点坐标分别为，，，由，设点的坐标为，其中，而，即是的中点，可以写出的坐标为，则，当时，取得最大值．故选B．12．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为在平面四边形中，，，所以，，，设，，所以，，因为，所以，即，解得，即，因为在上，所以，由，得，即，因为，，所以．因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．13．已知为的重心，过点的直线与边，分别相交于点，．若，则当与的面积之比为时，实数的值为．【答案】或【解析】设，则由，，可得，所以．①又为的重心，所以．结合，，三点共线，得．②联立①②消去，得，解得或．14．已知腰长为的等腰直角三角形中，为斜边的中点，点为所在平面内一动点，若，则的最小值是．【答案】【解析】如图，以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，∴，故，设，，则，当时，取得最小值，其最小值为．15．在中，，且，若，则实数的值是．【答案】【解析】设在中，三个内角，，的对边分别是，，，∵，则为的重心，又∵，则，如图，作的中线，，，∴．由余弦定理得，，∴，即，由正弦定理得，再由余弦定