2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，aA.6 B.20 C.25 D.302.函数f(x)=x2−sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.−π−1π B.−π C.π 3.已知直线l过直线x−2y=0与直线x+y+3=0的交点，且与直线3x+y−1=0平行，则直线l的方程为(

)A.3x+y+7=0 B.3x+y−7=0 C.3x+y+3=0 D.3x+y−3=04.若方程x22−k+y2k−1=1表示焦点在A.(1,2) B.(1,32) C.(5.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线l：y=2x+m的距离等于1，则A.±25 B.±5 C.6.当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足C(t)=tet，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t=3时的瞬时变化率约是t=4时的瞬时变化率的多少倍(e≈2.7)A.−1.8 B.1.8 C.3.6 D.−3.67.设Sn为数列{an}的前n项和，若3SnA.an=(−12)n B.a8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1A.52 B.62 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有(

)A.直线x+(k−1)y+2=0过定点(2,0)

B.点(1,1)关于直线x−y+1=0的对称点为(0,2)

C.两条平行直线x+3y−4=0与2x+6y−9=0之间的距离为1020

D.当实数m=2时，直线2x+y−2=0和10.已知数列{an}的首项a1A.若{an}是公差为2的等差数列，则{2an+1}是以5为首项，4为公差的等差数列

B.若{an}是公差为2的等差数列，则{3an}是以9为首项，3为公比的等比数列

C.若{an}是公比为3的等比数列，则{an11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的通径为2，焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A(x1,yA.x1⋅x2=14

B.点F的坐标为(12,0)

C.设点E(3,−2)，若点P为C上的动点，则|PE|+|PF|的最小值为4

D.过点H(−2,1)作抛物线C的两条切线，切点分别为M、N三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为______．13.已知点A(−1,0)，B(1,0)，若直线y=kx+4上存在点M，使MA2+MB214.令f(x)=x2，对抛物线y=f(x)持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：

在点(1,1)处作抛物线的切线，交x轴于点(x1,0)；

在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线，交x轴于点(x2,0)；

在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线，交x轴于点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=13x3−ax+13，a∈R，且满足f′(2)=0．

(1)求实数a的值；

16.(本小题15分)

已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且过两点A(0,2)，B(4,6)．

(1)求圆C的方程；

(2)直线l过点P(6,1)，且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=43，求直线l17.(本小题15分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点(1,32)，其中O为坐标原点．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)过椭圆C1的右顶点作直线与抛物线C2：y2=2x相交于A，B两点；

①求证：OA⊥OB18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−lnx+ax+a−2，a∈R．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y=x+1，求实数a的值；

(2)设函数y=ω(x)在区间I上有定义，若对任意的x1，x2∈I，都有ω(x1+x22)≤ω(x1)+ω(x2)2，则称函数19.(本小题17分)

北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图1所示)，可以用公式Sn=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，…，(a+n−1)(b+n−1)=cd的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究．

(1)若a=3，b=4，求S6的值；

(2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab；

(3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放an个物体堆成的堆垛(如图2所示参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.±1

13.(−∞,−14.12

3−15.解：(1)因为f(x)=13x3−ax+13，

所以f′(x)=x2−a，

令f′(2)=0，即方程22−a=0，

解得a=4．

(2)由(1)知，f(x)=13x3−4x+13，所以x−3(−3,−2)−2(−2,2)2(2,3)3f′(x)+0−0+f(x)10单调递增17单调递减−5单调递增−所以f(x)的极大值为f(−2)=173，f(x)的极小值为f(2)=−5，

又f(−3)=103,f(3)=−83．

所以函数f(x)在区间16.解：(1)由题意圆C的圆心在直线x−2y=0上，且过两点A(0,2)，B(4,6)，

可设圆C的方程为(x−a)2+(x−b)2=r2，

因为圆C的圆心在直线x−2y=0上，所以a=2b．

因为圆C过A(0,2)，B(4,6)，

代入圆C方程可得(0−a)2+(2−b)2=r2(4−a)2+(6−b)2=r2，

解得a=4，b=2，r=4，

故圆C的标准方程为(x−4)2+(y−2)2=16；

(2)设C到l的距离为d，由MN=216−d2=43，解得d=2，

当直线l斜率不存在时，l：x=617.解：(1)由椭圆C1的离心率为12，

可得：a2−b2a2=14，

整理得：3a2=4b2，

则椭圆C1：x2a2+y2b2=1的方程可化为x2a2+4y23a2=1．

代入点(1,32)得a2=4，

则椭圆C1的方程为x24+y23=1．

(2)由椭圆C1方程为x24+y23=1可得：该椭圆的右顶点为(2,0)．

①证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线C2只有一个交点，不满足题意．

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my+2，

联立方程组y2=2xx=my+2，

整理得y2−2my−4=0，

则y1，y2为方程y2−2my−4=0的两不等根，

18.解：(1)∵f′(x)=−1x+a，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y=x+1，

∴f′(1)=−1+a=1，解得a=2．

(2)证明：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，设∀x1，x2∈(0,+∞)，

则f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)

=−lnx1+ax1+a−2−lnx2+ax2+a−2−2(−lnx1+x22+a⋅x1+x22+a−2)

=−lnx1−lnx2+2lnx1+x22=ln(x1+x22)2−ln(x1x2)

=ln(x1+x2)24x1x2，

∵x1，x2∈(0,+∞)，

∴(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2>0，

∴(x1+x2)24x1x2≥1(当且仅当x1=x2时取等号)，

∴ln(x1+x2)24x1x2≥ln1=0(当且仅当x1=x2时取等号)，

∴f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)≥0，

即19.解：(1)依题意，a=3，b=4，n=6，

则c=3+6−1=8，d=4+6−1=9，

所以S6=66[(2×4+9)×3+(4+2×9)×8]+66(8−3)=232．

(2)依愿意，c=a+6，d=b+6，

由给出的公式，得76[(2b+d)a+(b+2d)c]+76(c−a)=238，

即76[(3b+6)a+(3b+12)(a+6)]+7=238，

整理得ab+3(a+b)=21，

而a，b为正整数，

又21=