专题提升三　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　电场中的功能关系-物理人教版必修第三册

专题提升三电场线、等势面与电荷运动轨迹问题电场中的功能关系学习目标1.掌握带电粒子在电场中运动轨迹类问题的分析思路和方法。2.能够运用动能定理、能量守恒定律、功能关系等解决电场中的能量问题。提升1电场线、等势线与电荷运动轨迹问题1.速度方向：沿运动轨迹某点的切线方向。2.判断受力方向：带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，带正电的粒子所受静电力的方向沿电场线的切线方向，所受合力的方向指向轨迹曲线凹侧。3.判断静电力做功的正负：若静电力与速度方向的夹角为锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电势能增加。4.判断粒子的加速度变化：根据牛顿运动定律知，加速度变化取决于带电粒子在电场中所受合力的变化。其中静电力的大小变化可根据电场线(或等差等势面)的疏密情况来确定。5.判断粒子运动的速度变化或动能的增减：根据动能定理知，若合力对粒子做正功，则粒子的速度变大，动能增加；若合力对粒子做负功，则粒子的速度变小，动能减少。当然，粒子运动过程中动能、电势能的变化情况也可以根据能量守恒定律来判断。类型1电场线与粒子运动轨迹问题例1(2023·天津西青区期末)某电场的电场线分布如图实线所示，以下说法正确的是()A.c点电场强度小于b点电场强度B.b点电势低于c点电势C.若将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小D.若某一点电荷只在静电力的作用下沿虚线由a点运动到d点，可判断该点电荷一定带负电答案C解析电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，则c点的电场强度大于b点的电场强度，故A错误；沿着电场线方向电势降低，故b点的电势高于c点的电势，故B错误；沿着电场线方向电势降低，故a点的电势高于d点的电势，故将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小，故C正确；由点电荷的运动轨迹弯曲方向可知，点电荷所受静电力大致向上方，与电场线方向相同，故点电荷带正电，D错误。类型2等势线与粒子运动轨迹问题例2(2023·陕西十校联考)两个固定的等量异种点电荷所形成的电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是()A.粒子带正电B.b点和d点的电场强度相同C.粒子的动能先减小后增大D.粒子在a点的电势能小于在e点的电势能答案C解析粒子运动轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，指向高电势，所以粒子带负电，A错误；在电场中等势面与电场线是垂直的，由图可知，b、d两点等势面的弯曲的方向不同，则过b、d两点，且与－5V的等势面垂直的电场线的方向是不同的，所以b、d两点的电场强度是不同的，B错误；粒子从a到c的过程中，静电力做负功，从c到e的过程中，静电力做正功，即粒子在静电场中静电力先做负功后做正功，则电势能先增大后减小，动能先减小后增大，C正确；a、e两点电势相等，故粒子在a、e两点电势能相等，D错误。对等势面与运动轨迹相结合的问题，解题时首先要根据运动轨迹弯曲的方向判断出带电粒子所受电场力方向，然后根据电场线与等势面垂直及电场强度方向沿电场线的切线方向确定电场强度方向，最后根据电场力做功情况分析动能和电势能的变化。类型3多粒子运动轨迹问题例3如图所示，一带正电的点电荷(不计重力)固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为运动轨迹和虚线圆的交点。下列说法正确的是()A.M粒子带正电荷，N粒子带负电荷B.M粒子在b点的动能大于它在a点的动能C.N粒子在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功D.N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等答案D解析M粒子的运动轨迹向左弯曲，可知M粒子受到了引力作用，故M粒子带负电荷，而N粒子的运动轨迹向下弯曲，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电荷，选项A错误；由于M粒子带负电，故M粒子从a点到b点静电力对其做负功，动能减少，选项B错误；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，选项C错误；对N粒子，由于只有电场力做功，N粒子的动能和电势能相互转化，但动能和电势能的和不变，所以N粒子在每个位置具有的电势能与动能的总和一定相等，选项D正确。提升2电场中的功能关系1.合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功。2.静电力做功等于带电体电势能的减小量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。这与重力做功和重力势能变化的关系类似。3.只有静电力做功时，带电体电势能与机械能的总量保持不变，即Ep1＋E1＝Ep2＋E2。这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似。例4如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2eq\r(gR)。求：(1)小球滑到C点时的速度大小；(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势。答案(1)eq\r(7gR)(2)－eq\f(mgR,2q)解析(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的功为零，由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝eq\f(3R,2)根据动能定理有mg·eq\f(3R,2)＝eq\f(mveq\o\al(2,C),2)－eq\f(mveq\o\al(2,B),2)解得vC＝eq\r(7gR)。(2)小球从A到C，重力和静电力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝eq\f(mveq\o\al(2,C),2)又根据静电力做功与电势能的关系得W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)又因为φC＝0，可得φA＝－eq\f(mgR,2q)。训练1质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中()A.小球的重力势能减少了2mghB.小球的动能增加了2mghC.静电力做负功2mghD.小球的电势能增加了3mgh答案D解析带电小球受到向上的静电力和向下的重力，由牛顿第二定律F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故D正确。训练2(多选)图中虚线A、B、C、D表示匀强电场的等势面，一带正电的粒子只在电场力的作用下，从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示，下列说法中正确的是()A.等势面A电势最低B.粒子从a运动到b，动能减小C.粒子从a运动到b，电势能减小D.粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和不变答案CD解析电场线与等势面垂直，带正电粒子所受静电力的方向与电场强度方向相同，曲线运动所受合力指向曲线的凹侧；带正电的粒子只在静电力的作用下，从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示，可画出速度和电场线及受力方向如图所示，则静电力的方向向右，电场线的方向向右，顺着电场线电势降低，等势面A电势最高，故A项错误；粒子从a运动到b，只受静电力，静电力的方向与运动方向成锐角，静电力做正功，粒子的电势能减小，动能增加，只受静电力作用，粒子的电势能与动能之和不变，故B项错误，C、D项正确。随堂对点自测1.(电场线、等势线及运动轨迹问题)(多选)图中实线是一簇竖直的未标明方向的匀强电场的电场线，虚线是一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力作用，且在a点速度方向垂直于电场线，则根据此图可知()A.带电粒子带正电B.带电粒子在a、b两点的受力方向竖直向下C.带电粒子在a点的水平速度等于在b点的水平速度D.带电粒子在a点的速率小于在b点的速率答案BCD解析假定粒子由a到b运动，由图可知，粒子偏向下方，则说明粒子在a、b两处所受的静电力方向竖直向下，由于不知电场线方向，故无法判断粒子电性，故A错误，B正确；由于在a、b两处所受的静电力方向竖直向下，所以带电粒子的运动可分解为在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动，带电粒子在a点的水平速度等于在b点的水平速度，故C正确；粒子从a到b运动的过程中，静电力做正功，粒子速率增大，假定粒子由b到a运动，静电力做负功，粒子速率减小，所以带电粒子在a点的速率小于在b点的速率，故D正确。2.(电场线、等势线及运动轨迹问题)(多选)图中虚线为匀强电场中的等势线，两粒子M、N质量相等，所带电荷量的绝对值也相等。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电势高于c点。若不计重力，则()A.M带负电荷，N带正电荷B.M带正电荷，N带负电荷C.N在从O点运动至a点的路径中电势降低D.M在O点和b点电势能相同答案BD解析由O点电势高于c点电势知，电场强度方向垂直虚线向下，由两粒子运动轨迹的弯曲方向知，N粒子所受静电力方向向上，M粒子所受静电力方向向下，故M粒子带正电，N粒子带负电，A、C错误，B正确；O、b两点位于同一等势线上，M在O、b两点的电势能相同，D正确。3.(功能关系在电场中的应用)如图所示，一质量为9.1×10－31kg、电荷量为1.6×10－19C的电子，以4×106m/s的速度从M点垂直电场线方向飞入匀强电场，电子只在电场力的作用下运动，在N点离开电场时，其速度方向与电场线成150°角，则M与N两点间的电势差约为()A.－1.0×102V B.－1.4×102VC.1.8×102V D.2.2×102V答案B解析电子在静电力的作用下做类平抛运动，在垂直电场方向上做匀速直线运动vN＝eq\f(vM,sin30°)＝eq\f(4×106,\f(1,2))m/s＝8×106m/s根据动能定理得(－e)·UMN＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,N)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,M)所以有UMN＝eq\f(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(veq\o\al(2,N)－veq\o\al(2,M))),－2e)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8×106))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×106))2))×9.1×10－31,－2×1.6×10－19)V＝－136.5V故B正确，A、C、D错误。对点题组练题组一电场线、等势线及运动轨迹问题1.若带正电荷的小球在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内()A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动答案D解析小球的运动情况取决于合力和初速度的关系，小球只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时，小球才沿电场线运动，小球不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。2.(多选)某带电粒子仅在静电力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度v0及运动轨迹如图所示，可以判定()A.粒子在A点的加速度小于它在B点的加速度B.粒子在A点的动能小于它在B点的动能C.粒子在A点的电势能小于它在B点的电势能D.电场中A点的电势低于B点的电势答案AB解析由电场线的疏密可知电场强度EB>EA，由a＝eq\f(qE,m)知粒子的加速度aB>aA，A正确；由粒子运动轨迹的弯曲情况可知粒子由A点运动到B点静电力做正功，动能增大、电势能减小，即EkB>EkA，EpB<EpA，B正确，C错误；根据粒子的运动轨迹弯曲情况及电场线的方向，可知粒子带正电，又因为φ＝eq\f(Ep,q)，EpB<EpA，所以φB<φA，D错误。3.如图所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处。b点为轨迹上离O点最近的点，由此可知()A.O为负点电荷B.在整个过程中q的电势能先变小后变大C.在整个过程中q的速度先变大后变小D.在整个过程中，静电力做功为零答案D解析由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正点电荷，A错误；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C错误；由于a、c两点在同一等势线上，整个过程中，静电力做功为零，D正确。4.(2023·江苏启东中学期中)如图所示，实线为一匀强电场的电场线(方向未知)，两个带电粒子甲和乙分别从A、C两点以垂直于电场线方向的大小相同的初速度v0同时射入电场，粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹分别如图中虚线ABC与CDA所示，若甲是带正电的粒子，则下列说法正确的是()A.乙也是带正电的粒子B.A点的电势低于C点的电势C.甲、乙两粒子的电势能均减小D.甲、乙两粒子的电荷量一定相等答案C解析甲、乙两粒子均在匀强电场中做曲线运动，根据合外力指向运动轨迹的凹侧可知，甲粒子所受静电力向右，又甲粒子带正电，则电场方向向右；乙粒子所受静电力向左，故乙带负电，选项A错误；静电力对两粒子均做正功，由功能关系知甲、乙的电势能均减小，又正电荷在电势能大的地方电势高，则φA＞φC，选项B错误，C正确；两粒子做类平抛运动，初速度大小相等，轨迹对称，可知两粒子加速度大小相同，由a＝eq\f(qE,m)可知，两粒子的比荷eq\f(q,m)相同，但电荷量不一定相等，选项D错误。5.如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点。带电粒子的重力不计，避雷针带负电。则()A.带电粒子带负电B.避雷针尖端附近电势较高C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能答案D解析根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到指向曲线内侧的作用力，即带电粒子与带负电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，A错误；避雷针带负电，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成的电场中，电场线指向避雷针，沿着电场线的方向，电势降低，由此可知，避雷针尖端附近电势较低，B错误；等差等势线越密集的位置，电场强度越强，由此可知，B点的电场强度大小大于A点的，由牛顿第二定律a＝eq\f(qE,m)，则带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度，C错误；避雷针尖端附近电势较低，即φA＞φB，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，又因为粒子带正电，则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，D正确。题组二电场中的功能关系6.(多选)一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做了5×10－6J的功，那么()A.电荷在B点将具有5×10－6J的电势能B.电荷在B点将具有5×10－6J的动能C.电荷的电势能减少了5×10－6JD.电荷的动能增加了5×10－6J答案CD解析因电荷在A点的动能和电势能不知道，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，故A、B错误；电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做正功，电荷电势能减少，静电力做了多少正功，电荷电势能就减少多少，由动能定理可知动能增加W电＝ΔEk＝5×10－6J，故C、D正确。7.如图所示，在水平向右的匀强电场中有一个绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12J，金属块克服摩擦力做功8J，重力做功24J。下列说法中正确的是()A.金属块带负电荷B.金属块克服电场力做功8JC.金属块的电势能减少4JD.金属块的机械能减少12J答案D解析金属块滑下的过程中动能增加了12J，由动能定理知合外力做功12J，即WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做功Wf＝－8J，重力做功WG＝24J，解得静电力做功WF＝－4J，静电力做负功，金属块带正电荷，电势能增加了4J，A、B、C错误；由功能关系可知机械能的变化量ΔE＝Wf＋WF＝－12J，即机械能减少了12J，D正确。8.(多选)质量为m的带电小球在匀强电场中以初速度v0水平抛出，小球的加速度方向竖直向下，其大小为eq\f(2,3)g。则在小球竖直分位移为H的过程中，以下结论中正确的是()A.小球的电势能增加了eq\f(2mgH,3)B.小球的动能增加了eq\f(2mgH,3)C.小球的重力势能减少了eq\f(mgH,3)D.小球的机械能减少了eq\f(mgH,3)答案BD解析分析小球的受力情况，根据牛顿第二定律可知，mg－qE＝ma，解得静电力qE＝eq\f(1,3)mg，方向竖直向上，在小球竖直分位移为H的过程中，静电力做功为－eq\f(1,3)mgH，根据功能关系可知，小球的电势能增加eq\f(1,3)mgH，机械能减小了eq\f(1,3)mgH，故A错误，D正确；重力做功为mgH，重力势能减少了mgH，故C错误；根据动能定理可知，合外力做功eq\f(2mgH,3)，动能增加了eq\f(2mgH,3)，故B正确。综合提升练9.(多选)某电场在直角坐标系中的电场线分布情况如图所示，O、M、N为电场中的三个点，则由图可得()A.M点的电场强度小于N点的电场强度B.M点的电势低于N点的电势C.将一负电荷由O点移到M点电势能增加D.将一正电荷从O点分别移到M点和N点，静电力做功相同答案BC解析M点的电场线较N点密集，故M点的电场强度大于N点的电场强度，故A错误；顺着电场线电势降低，故M点的电势低于N点的电势，故B正确；O点电势高于M点电势，故将一负电荷由O点移到M点电势能增加，故C正确；M点的电势低于N点的电势，故OM与ON之间的电势差不相等，故将一正电荷从O点分别移到M点和N点，电场力做功不相同，故D错误。10.(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，静电力做功为－W。再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。下列说法正确的有()A.Q1移入之前，C点的电势为eq\f(W,q)B.Q1从C点移到B点的过程中，所受静电力做的功为0C.Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受静电力做的功为2WD.Q2在移到C点后的电势能为－4W答案ABD解析根据静电力做功与电势能的变化关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义知C点电势φ＝eq\f(Ep,q)＝eq\f(W,q)，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C移到B的过程中，静电力做功为0，B正确；单独在A点固定电荷量为＋q的点电荷时，C点电势为φ，单独在B点固定点电荷Q1时，C点电势也为φ，两点电荷都存在时，C点电势为2φ，Q2从无穷远移到C点时，具有的电势能Ep′＝－2q×2φ＝－4W，静电力做功W′＝－Ep′＝4W，C错误，D正确。11.一个质量为m、带有－q的电荷量的小物块，可在水平轨道Ox轴上运动，轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面，轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正向，如图所示。小物块以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力Ff的作用，且Ff<qE。设小物块与墙壁碰撞时不损失机械能，且电荷量保持不变，求它停止运动前通过的总路程s。答案eq