沪科 九年级 下册 数学《阶段拔尖专训1 旋转问题中作辅助线的技巧》复习课 课件

阶段拔尖专训1旋转问题中作辅助线的技巧由旋转的性质，得QC＝PA＝3，∴在△QPC中，PQ2＋QC2＝42＋32＝52＝PC2，∴△QPC为直角三角形，且∠PQC＝90°.∴∠PQC＋∠PQB＝∠BQC＝∠APB＝135°.(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．【解】以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转90°得线段AD′，则AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图②.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，BA＝CA，∴∠BAC＝∠DAD′，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAD′.2．如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形．(1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；【解】题图①中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到题图②.(2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2.3.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，求图中的阴影部分的面积．【解】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，易知AD＝AB′.4．在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于点E，求证：AE＝EC.证明：∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴可将图①中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图②，请你利用图②完成证明；【证明】在题图②中，易得△ABE≌△ADE′，∴∠E′＝∠AEB＝90°，∠ADE′＝∠B，AE＝AE′.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE′＋∠ADC＝180°，即C，D，E′在同一条直线上．∵∠AEC＝∠C＝∠E′＝90°，AE′＝AE，∴四边形AECE′为正方形，∴AE＝EC.(2)根据第(1)题的数学活动经验，解答下面的问题．①如图③，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2的值；【解】①如图①，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△B′DE，

易得△DEB′≌△DFB，∴S△DBF＝S△DEB′，DB′＝DB＝1，∠BDF＝∠B′DE，易知∠BDF＋∠EDA＝90°，∴∠B′DE＋∠EDA＝∠ADB′＝90°.②如图④，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA＋PB＋PC的值．【解】如图②，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°，得到△ANM，连接BN，PM，则△ABP≌△ANM，∴PB＝MN，∠APB＝∠AMN.易得△APM，△ABN均为等边三角形，∴PA＝PM，∠APM＝∠AMP＝60°，BN＝BA，∠ABN＝60°.5.问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法，如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：__________________．EF＝BE＋DF【解】(1)中的结论仍然成立，理由如下：如图①，将△ADF绕点A顺时针旋转至AD与AB重合，得到△ABH，

由旋转可得，AH＝AF，BH＝DF，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH.(3)尝试应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．【解】如图②，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，

∴△ABE≌△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠ADG＝∠B，∠BAE＝∠DAG.∵在正方形ABCD中，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝∠B＋∠ADF＝180°，∴G，D，F三点共线．∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝45°＝∠EAF.又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF＝5.设正方形ABCD的边长是x，在Rt△CEF中，EC＝x－3，CF＝x－2，EF2＝EC2＋CF2，∴52＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，∴正方形ABCD的边长是6.6.

问题提出：如图①，点P是等边三角形ABC内的一点，PA＝5，PB＝12，PC＝13.你能求出∠APB的度数吗？问题解决：如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．(1)结合上述思路完成填空：PP′＝______，∠APP′＝________°，∠APB＝__________°；1290150类比探究：(2)如图③，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PB＝2，PA＝3，求∠CPB的度数；【解】如图①，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°至△CBP′的位置，使AB与CB重合，连接PP′，则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝3.由勾股定理得，PP′2＝22＋22＝8.又∵PC2＝12＝1，P′C2＝32＝9，∴P′C2＝PP′2＋PC2，∴∠P′PC＝90°，又∵易知∠BPP′＝45°，∴∠CPB＝∠BPP