2024北京顺义区高一（下）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京顺义高一（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z＝﹣2+i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，那么向量可以是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）3．在△ABC中，已知，，，则b＝（）A． B． C． D．4．已知，则tanα＝（）A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．15．以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为（）A． B．8π C． D．6．已知直线m，n，l与平面α，则下列四个命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥n，n∥α，则m⊥α C．若m⊥l，n⊥l，则m∥n D．若m∥n，m⊥l，则n⊥l7．下列函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A． B．y＝|sinx| C．y＝cos2x D．8．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了xkm到达B地，然后由B地向北偏西60°方向骑行了到达C地，此时这个人由A地到C地位移的大小为3km，那么x的值为（）A．3 B．6 C．3或6 D．9．已知△ABC，且．点P是△ABC所在平面内的动点，满足．则的最小值为（）A．2 B． C．1 D．10．如图，在扇形OMN中，半径OM＝1，圆心角，B是上的动点（点B不与M、N及的中点重合），矩形ABCD内接于扇形OMN，且OA＝OD．∠BOM＝α，设矩形ABCD的面积S与α的关系为S＝f（α），则f（α）最大值为（）A． B． C． D．二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11．（5分）设复数z满足（3+4i）•z＝5i，则z＝．12．（5分）在锐角△ABC中，a＝1，b＝2，△ABC的面积为，则cosC＝．13．（5分）在长方形ABCD中，，AD＝1，点P满足，则＝，＝．14．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω，φ为常数，ω＞0）的部分图象如图所示，则＝；若将函数f（x）图象上的点P（0，a）向右平移t（t＞0）个单位长度得到点Q，且点Q仍在函数f（x）的图象上，则t的最小值为．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，且M为棱AA1的中点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD所成的角为，给出下列四个结论：①存在点P使得MP⊥BD1；②点P的轨迹长度为；③三棱锥P﹣A1BD1的体积的最小值为；④线段|PC1|长度最小值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知，是两个单位向量，其夹角为120°，，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求与的夹角．17．（13分）设函数f（x）＝2Asinxcosx+2cos2x（A∈R，A≠0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．条件①：f（0）＝0；条件②：f（x）的最大值为；条件③：直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E；（Ⅱ）求证：CB1⊥平面ABC1D1；（Ⅲ）写出直线D1E与平面ADD1A1所成角的正弦值（只需写出结论）．19．（15分）已知函数．在△ABC中，f（B）＝f（C），且b≠c．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a＝5，b+c＝7，求△ABC的面积．20．（15分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB＝4，EF＝1，ED＝EA，H为CD的中点，M为BH的中点，EM⊥BH，．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）求证：平面AME⊥平面ABCD；（Ⅲ）求五面体ABCDEF的体积．21．（15分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2．定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}．若对于任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．（1）已知数集X1＝{﹣1，1，2}，请你写出数集X1对应的向量集Y1，X1是否具有性质P？（2）若x＞2，且X2＝{﹣1，1，2，xj}具有性质P，求x的值；（3）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】先求出复数z＝﹣2+i的共轭复数，再由复数的几何意义即可得出答案．【解答】解：复数z＝﹣2+i的共轭复数为，则对应的点坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：＝（﹣1，2），当时，，即，故D正确，其它选项均不符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．3．【分析】利用正弦定理，列式计算即可．【解答】解：在△ABC中，∵，，，∴由正弦定理，得b＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．4．【分析】利用正切的和角公式化简即可求解．【解答】解：由tan（）＝﹣3可得：，解得tanα＝2，故选：B．【点评】本题考查了正切的和角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5．【分析】根据题意知旋转体是圆锥，圆锥的底面半径r＝2，高h＝2，由此求出圆锥的体积．【解答】解：以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体是圆锥，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该圆锥的底面半径r＝2，高h＝2，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×22×2＝．故选：A．【点评】本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．6．【分析】由线面垂直，线面平行，线线平行，线线垂直的性质可判断出所给命题的真假．【解答】解：A中，m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以A不正确；B中，m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，所以B不正确；C中，m⊥l，n⊥l，则m∥n或m，n相交或m，n互为异面直线，所以C不正确；D中，m∥n，m⊥l，则n⊥l，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查线线平行，垂直的性质及线面平行，线面垂直的性质的应用，属于基础题．7．【分析】结合三角函数的周期性及单调性检验各选项即可判断．【解答】解：根据正切函数的性质就函数图象的平移可知，y＝tan（x+）在（0，）上不单调，A错误；根据三角函数图象的变换可知，y＝|sinx|的最小正周期为π，且在区间上单调递增，B正确；y＝cos2x在区间上单调递减，C错误；y＝sin（x）的最小正周期为2π，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及单调性的判断，属于基础题．8．【分析】直接利用余弦定理，求解即可．【解答】解：由题意知，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，所以9＝AB2+27﹣2AB•3cos30°，即AB2﹣9AB+18＝0，解得AB＝6或AB＝3．故选：C．【点评】本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理，方位角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．【分析】根据题意易得A＝90°，设BC的中点为D，则|CB|＝2|AD|，从而可得＝|2|+||＝＝2（|AD|+|PD|）≥2|AP|，从而可得解．【解答】解：∵，∴A＝90°，设BC的中点为D，则|CB|＝2|AD|，又．∴＝|2|+||＝＝2（|AD|+|PD|）≥2|AP|＝2，当且仅当ADP三点共线时，等号成立，∴的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查向量的线性运算，化归转化思想，属中档题．10．【分析】建立坐标系：可得A（cosα﹣sinα，0），B（cosα，sinα），D（cosα﹣sinα，0），即可得|AD|＝（cosα﹣sinα），|AB|＝sinα，可得S＝|AD|•|AB|＝sin（2α+）﹣1，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系：因为OA＝OD，所以kAD＝﹣1，又因为∠BOM＝α（0＜α＜且α≠），OB＝OM＝ON＝1，所以B（cosα，sinα），设A（m，0），则D（0，m）（0＜m＜1），因为AB⊥AD，所以kAB＝＝1，解得m＝cosα﹣sinα，所以|AD|＝m＝（cosα﹣sinα），|AB|＝＝sinα，所以S＝|AD|•|AB|＝2sinα（cosα﹣sinα）＝2sinαcosα﹣2sin2α＝sin2α+cos2α﹣1＝sin（2α+）﹣1，所以当2α+＝，即α＝时，S有最大值，为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了建模能力，三角函数的性质，属于中档题．二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11．【分析】利用复数的除法运算法则求解．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）•z＝5i，∴z＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．12．【分析】利用三角形面积公式求出sinC，进而求出cosC．【解答】解：∵a＝1，b＝2，△ABC的面积为，∴S△ABC＝＝sinC＝，又∵△ABC是锐角三角形，∴C∈（0，），∴cosC＞0，∴cosC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．【分析】根据题意易得，又，从而再根据向量的数量积的运算，分别求解即可．【解答】解：∵点P满足，∴，∴，∴，又，∴＝＝＝4，∴||＝2；∴＝＝＝＝﹣3．故答案为：2；﹣3．【点评】本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属基础题．14．【分析】根据图象求出ω和φ，即可求函数f（x）的解析式，进而可求函数值；点P（0，）向右平移t（t＞0）个单位长度得到点Q（t，），将Q点代入函数解析式可求解结果．【解答】解：由函数的图象得T＝﹣0＝，所以T＝π，则ω＝＝＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），由“五点作图法”得2×（﹣）+φ＝0，则φ＝，所以f（x）＝sin（2x+），f（）＝sin（+）＝0；因为f（0）＝sin＝，即P（0，），且点P（0，）向右平移t（t＞0）个单位长度得到点Q（t，），所以sin（2t+）＝，所以2t+＝2k1π+，k1∈Z，或2t+＝2k2π+，k2∈Z，解得t＝k1π，k1∈Z，或t＝k2π+，k2∈Z，因为t＞0，所以k2＝0时，t取最小值．故答案为：0；．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．15．【分析】作出图形，根据题意可得MP与底面ABCD所成的角为∠APM＝，从而可得AP＝AM＝1，进而可得在底面ABCD内，P在以A为圆心，r＝1为半径的圆弧上，其中E，F分别为AD，AB的中点，再针对各个问题分别求解即可．【解答】解：如图，根据题意可得MP与底面ABCD所成的角为∠APM＝，∴AP＝AM＝1，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，∴在底面ABCD内，P在以A为圆心，r＝1为半径的圆弧上，其中E，F分别为AD，AB的中点，∴点P的轨迹长度为＝，∴②正确；当P与E重合时，ME∥A1D，又根据三垂线定理可知BD1⊥A1D，∴ME⊥BD1，∴①正确；当P与F重合时，P到平面A1BD1的距离最小，从而可得三棱锥P﹣A1BD1的体积最小，∴三棱锥P﹣A1BD1的体积的最小值为：＝＝，∴③正确；根据勾股定理可得＝，根据圆的几何性质易知|PC|的最小值为|AC|﹣r＝，∴线段|PC1|长度最小值为＝，∴④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查立体几何的综合应用，动点轨迹问题，线面角的概念，三棱锥的体积的求解，距离的最值的求解，属中档题．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积运算求出结果；（Ⅱ）利用向量的夹角公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知，为单位向量，夹角为120°，故＝4+2+1＝7，故；同理＝＝9﹣6+4＝7，故；（Ⅱ）由已知条件得：＝6﹣2+＝，故，由于，故．【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据题意可得f（0）＝2cos20＝2，与f（0）＝0矛盾，所选条件是②③，f（x）的最大值为+1＝+1，解得A，进而可得答案．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，又0≤x≤π，即可解得答案．【解答】解：（Ⅰ）若选条件①②：因为f（x）＝2Asinxcosx+2cos2x，所以f（0）＝2cos20＝2，与f（0）＝0矛盾，所以所选条件是②③：根据题意可得f（x）＝2Asinxcosx+2cos2x＝Asin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+θ）+1，其中sinθ＝，cosθ＝，所以f（x）的最大值为+1＝+1，所以A＝±1，当A＝1时，f（x）＝sin（2x+），所以令2x+＝+kπ，k∈Z，所以x＝+，k∈Z，当k＝0时，f（x）的对称轴为x＝，当A＝﹣1时，f（x）＝sin（﹣2x），所以令﹣2x＝+，k∈Z，所以x＝﹣﹣，k∈Z，f（x）不会有对称轴为x＝，所以f（x）＝sin（2x+），所以最小正周期为＝π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，所以﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，又0≤x≤π，所以0≤x≤或≤x≤π，所以f（x）的单调递增区间为[0，]，[，π]．【点评】本题考查三角函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．18．【分析】（1）由BC1∥AD1，可证明BC1∥平面AD1E；（2）利用线面垂直的判定定理即可得证；（3）取A1A的中点F，连接EF，B1D1，得到EF⊥平面ADD1A1，根据sin，即可求解．【解答】解：（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1．又因为BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E；（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为D1C1⊥平面CBB1C1，CB1⊂平面CBB1C1，所以D1C1⊥CB1，又因为CB1⊥BC1，且BC1∩C1D1＝C1，BC1，C1D1⊂平面ABC1D1，所以CB1⊥平面ABC1D1；（3）直线D1E与平面ADD1A1所成角的正弦值为，理由如下：取A1A的中点F，连接EF，B1D1，易知EF⊥平面ADD1A1，令正方体棱长为a．则EF＝a，，设直线D1E与平面ADD1A1所成角为θ，则sin＝，所以直线D1E与平面ADD1A1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面位置关系的判定以及线面角的计算，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）结合诱导公式、二倍角公式与辅助角公式化简可得f（x）＝sin（x+），再结合已知条件，推出B+C＝，从而知角A的大小；（Ⅱ）先利用余弦定理，求得bc＝8，再由S＝bcsinA，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）＝sin（+）sin[﹣（+）]+sinx＝sin（+）cos（+）+sinx＝sin（+x）sinx＝cosxsinx＝sin（x+），因为f（B）＝f（C），且b≠c，所以sin（B+）＝sin（C+），又b≠c，即B≠C，且B，C∈（0，π），所以（B+）+（C+）＝π，即B+C＝，所以A＝π﹣（B+C）＝．（Ⅱ）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，所以25＝b2+c2﹣2bc•cos，所以25＝（b+c）2﹣3bc＝49﹣3bc，解得bc＝8，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×＝2．【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握三角恒等变换公式，余弦定理，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）先证AB∥平面EFCD，再利用线面平行的性质定理即可得证；（Ⅱ）通过条件证出ME⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理即可得证；（Ⅲ）先证明平面ETG∥平面BCF，得出五面体GBCTEF为三棱柱，再利用体积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB∥CD，CD⊂平面EFCD，AB⊄平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，又EF，AB⊂平面EFCD，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以AB∥EF．（Ⅱ）证明：ED＝EA，取AD的中点N，连接MN，NE，因为N是AD中点，M是HB中点，所以MN∥AB，又底面ABCD为正方形，所以AD⊥NM，因为ED＝EA，所以AD⊥NE，又NM∩NE＝N，所以AD⊥平面NME，又因为ME⊂平面NME，所以AD⊥ME，又EM⊥BH，且BH与AD是相交线，所以ME⊥平面ABCD，ME⊂平面AME，所以平面AME⊥平面ABCD；（Ⅲ）过M点作TG∥BC，因为AB＝4，H为DC中点，M为BH中点，所以BG＝HT＝TC＝1＝EF，DT＝AG＝3，又AD＝4，由（Ⅱ）可知，ME⊥平面ABCD，四棱锥E﹣ADTG