2024北京丰台区高一（下）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京丰台高一（下）期末数学2024.07第一部分（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．设复数，则（A）1 （B）（C）2（D）42．已知点，，，若，则m的值为（A）-1 （B）（C）1（D）33．已知复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4．一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（A）（B）（C）（D）5．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，的平均数为，方差为，则下列结论中正确的是（A）， （B），（C）， （D），6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线B1C所成角的大小为（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°7.在△中，点是边的中点．记，，则（A） （B） （C） （D）8.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（A）为不可能事件 （B）与相互独立（C）B与D互斥 （D）C与D互为对立9.已知直线a，b与平面a，b，g，下列说法正确的是（A）若a∥a，a^b，则a^b（B）若a∥a，a∥b，则a∥b（C）若a^g，b^g，则a∥b（D）若ab=a，b^a，bÌb，则a^b10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形边上任一点，下列结论中正确的个数是图1图2=1\*GB3①与的夹角为；=2\*GB3②；=3\*GB3③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；=4\*GB3④的取值范围是．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第二部分（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则.12.已知复数和都是纯虚数，则．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知,那么=________，若，，则______.14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的体积为_______，该陀螺的表面积为______.15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，给出下列四个结论：①直线FG与平面ACD1相交；②直线B1D^平面EFG；③若AB=1，则点D到平面ACD1的距离为；④该正方体的棱所在直线与平面EFG所成的角都相等.其中所有正确结论的序号是____________．三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）设平面向量，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断与是否平行，并说明理由；（Ⅲ）若，求实数的值.17.（本小题14分）某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛.将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数；（Ⅱ）为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于和的两组中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取5名学生.（=1\*romani）求这5名学生中位于内的人数；（=2\*romanii）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在内的概率.18.（本小题13分）如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是线段AB，BC的中点.（Ⅰ）求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）过直线EF作平面a，若平面a与直线PC交于点G，直线PB∥平面a.求证：G是线段PC的中点.19.（本小题15分）在中，三个内角的对边分别为．已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知.（=1\*romani）若，求c；（=2\*romanii）求面积的最小值.20.（本小题15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ÐABC=90º，AA1=AB=1，平面ABB1A1^平面ABC.（Ⅰ）求证：AB1^A1C；（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线A1C与平面ABC所成角为30º时，（ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACC1A1；（ⅱ）求二面角B-A1C-A的正弦值.条件①：AC1=A1C；条件②：A1B=.注：如果选择条件=1\*GB3①和条件=2\*GB3②分别解答，按第一个解答计分.21.（本小题共15分）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．（Ⅰ）当时，若，，求和的值；（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于的，从任取两两互不相同的元素.证明：存在，使得．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BDADCCBDAC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．0.512．13．；314．；15．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，所以,因为，，所以,所以，所以,所以，所以.…………4分（Ⅱ）平行，理由如下：解法1：设与的夹角为，，因为，所以，与平行.…………9分解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立，又因为，，所以与共线，即与平行.（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知条件得：，因为=12，所以，所以.解法2：因为=12，所以，因为，，，所以，所以.…………13分17.（本小题14分）解：（Ⅰ）由，可得.由频率分布直方图可知，110分以下的所占比例为，因此，80%分位数一定位于内.由，估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的80%分位数约为115分.………………5分（Ⅱ）（=1\*romani）由题意与的频率之比为2:3，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽取3人.…………8分（=2\*romanii）在分数段内抽取2人，分别记为，，在分数段内抽取3人，分别记为，，.从这5名学生中任取2人的样本空间，设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件，而事件包含7个可能结果，即，所以，故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.……………14分18.（本小题13分）证明：（Ⅰ）因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC.因为EF平面PAC，AC平面PAC，所以EF∥平面PAC.…………6分（Ⅱ）依题意知，平面a∩平面PBC=FG,因为直线PB∥平面a，PB⊂平面PBC，所以PB∥FG，因为F是线段BC中点，所以G是线段PC中点.…………13分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，由余弦定理得：，因为A为三角形内角，所以.…………5分（Ⅱ）（=1\*romani）由和，可知，因为，在中，由余弦定理得：，所以，所以，因为，所以，所以.…10分（=2\*romanii）解法1：由和，可知，因为，所以，又因为，所以，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，所以的面积的最小值为.…………15分解法2：由和，可知，因为,，所以因为，所以,在中，由正弦定理得：,所以,在中，,所以因为，所以,所以当时，的面积的最小值为.20.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为ÐABC=90º，所以，因为平面ABB1A1^平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，所以BC^平面ABB1A1，因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC^AB1，因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以四边形ABB1A1是平行四边形，因为AA1=AB，所以ABB1A1是菱形，所以AB1^A1B，因为A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1^平面A1BC，因为A1C⊂平面A1BC所以AB1^A1C.…………6分（Ⅱ）选条件①：（ⅰ）因为AC1=A1C，所以平行四边形ACC1A1为矩形，所以AA1^AC，由（Ⅰ）知，AA1^BC，因为AC∩BC=C，BC，AC⊂平面ABC，所以AA1^平面ABC，因为AA1⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1^平面ABC.………11分（ⅱ）因为AA1^平面ABC，A1C∩平面ABC=C，所以直线A1C与平面ABC所成的角为ÐA1CA，所以ÐA1CA=30º，因为AA1=AB=1，所以A1C=2，AC=，BC=，A1B=作BD^AC于D，因为平面ACC1A1^平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，所以BD^平面ACC1A1，所以BD^A1C.作DE^A1C于E，连接BE，因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C^平面BDE，因为BE⊂平面BDE，所以A1C^BE，所以是二面角B-A1C-A的平面角.因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角B-A1C-A的正弦值为.…………15分条件②：A1B=，因为AA1=AB，所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1^AB，由（Ⅰ）知，AA1^BC，因为AB∩BC=B，BC，AB⊂平面ABC，所以AA1^平面ABC，以下同条件①.21.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以，.…………4分（Ⅱ）设，令其中()则，，，则，当，且()时，由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数.若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，所以,且.将上述集合中的元素分成如下四组：经检验，每组中两个元素，均有，所