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大招15双曲线与角平分线定理大招总结结论1:双曲线焦点到渐近线的距离,原点到垂足的距离.证明:如图,是双曲线的焦点,过点作垂直双曲线的其中一条渐近线,垂足为为原点双曲线渐近线方程为,即圆心到渐近线的距离.结论三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.如:在中,平分,则.在双曲线中,两条渐近线与坐标轴的夹角相等,所以经常可以用角平分线化腐朽为神奇.证明：方法1：(面积法),,又和是等高三角形,面积的比等于底的比,即三角形面积三角形面积方法2(相似)过作交的延长线于则又可证明方法3(正弦定理)典型例题例1.双曲线的右焦点为,若以点为圆心,半径为的圆与双曲线的渐近线相切,则双曲线的离心率等于（）A.B.C.2D.解方法1:根据题意得:圆心,半径为,双曲线渐近线方程为,即,以点为圆心,半径为的圆与双曲线的渐近线相切,且,圆心到渐近线的距离,即, 则双曲线的离心率,故选B.方法2:如果同学们理解并记住了结论1,不妨令例2.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,若以点为圆心,为半径的圆与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程为（）A.B.C.D.解方法1:设双曲线的方程为.拋物线的焦点为,且双曲线的右焦点与拋物线的焦点相同,.又圆与双曲线的渐近线相切,由双曲线的对称性可知圆心到双曲线的渐近线的距离为,,双曲线的方程为.故选D.方法2:拋物线的焦点为,根据结论,所以选D.例3.(2021-江西模拟)设是双曲线的右焦点,双曲线两渐近线分别为,过点作直线的垂线,分别交于两点,若两点均在轴上方且,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.解方法1:在直角三角形中,,可得,可得,由直线,直线,由直线到直线的角的正切公式,可得,化简可得,即有.故选C.方法2:根据角平分线定理:,不妨设相似,所以.法例4.(2019-新课标I)已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若,则的离心率为________.解方法1:如图,,且,则,联立,解得,则,,整理得:,即,.故答案为:2.方法为中点,为中点,, 平分根据渐近线的对称性,自我检测1.已知是双曲线的右焦点,点分别在其两条线上,且满足,(为坐标原点),则该双曲线的离心率为_______.解:方法1:双曲线的两条渐近线方程为,即,假设点在直线,并设的坐标为,点,则点在直线,,于是有,由于点在直线,则,同理得,由于,则,则,即,于是有,,,所以,因此方法2:根据角平分线定理2.设是双曲线的右焦点,双曲线两条渐近线分别为,过作直线的垂线,分别交于两点.若成等差数列,且向量与同向,则双曲线离心率的大小为_________.解:方法1:不妨设的倾斜角为锐角向量与同向,渐近线的倾斜角为渐近线斜率为:,成等差数列在直角中,,由对称性可知:的斜率为舍去；故答案为.方法2:既是勾股数,又是等差数列,设为方便计算,做此类题时,不妨直接令根据角平分线定理成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在

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