高考数学精准复习专项大招19阿基米德三角形的性质含答案或解析

大招19阿基米德三角形的性质大招总结切线方程:1.过抛物线上一点的切线方程为:2.过抛物线上一点的切线方程为:3.过抛物线上一点的切线方程为:4.过抛物线上一点的切线方程为:性质1:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明:设为弦的中点,则过的切线方程为,过的切线方程为,联立方程,,解得两切线交点性质2:若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线的定点,则另一顶点的轨迹为一条直线性质:抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹性质4:若直线与抛物线没有公共点,以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点性质性质5:底边为的阿基米德三角形的面积最大值为性质6:若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为性质7:在阿基米德三角形中,性质8:抛物线上任取一点(不与重合),过作抛物线切线交于,则的垂心在准线上性质性质的中点在抛物线上,且处的切线与平行性质11:在性质8中,连接,则的面积是面积的2倍典型例题例1.(2019-新课标III)已知曲线为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别为.(1)证明:直线过定点;(2)若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积.解:(1)证明:的导数为,设切点,即有,切线的方程为,即为,切线的方程为,联立两切线方程可得,可得,即,直线的方程为,即为,可化为,可得恒过定点;(2)设直线的方程为,由(1)可得,中点,由为切点可得到直线的距离即为,可得,解得或,即有直线的方程为或,由可得,四边形的面积为;由,可得,此时到直线的距离为;到直线的距离为,则四边形的面积为;综上可得四边形的面积为.例2.如图,设抛物线方程为为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.(I)求证:三点的横坐标成等差数列;(II)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程;(III)是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上,其中,点满足(为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.解（I)证明:由题意设.由得,得,所以.因此直线的方程为,直线的方程为.所以,(1).(2)由(1)、(2)得,因此,即.所以三点的横坐标成等差数列.(II)解:由(I)知,当时,将其代入(1)、(2)并整理得:,所以是方程的两根,因此,又,所以.由弦长公式得.又,所以或,因此所求抛物线方程为或.(III)解:设,由题意得,则的中点坐标为,设直线的方程为,由点在直线上,并注意到点也在直线上,代入得y3=x0px3若Dx3,因此x3=0即D(0,(1)当x0=0时,则x(2)当x0≠0,对于D(0所以kAB即x1对于D2x0,2x0又kAB所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以x0≠0综上所述,仅存在一点M(例3.如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段(1)若OA⋅OB=2(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.解(1)设过C点的直线为y=kx+c,所以设Ax1OA=因为OA⋅OB=2,所以+所以−c−k所以c=2(舍去c(2)设过A的切线为y−y1=k1x它与y=−c的交点为又Px所以Qk因为x1x2所以Mx所以点M和点Q重合,也就是QA为此拋物线的切线.(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Qk因为PQ⊥x因为x1+x22自我检测1.如图,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x−y−2=0(1)求△APB的重心G(2)证明∠PFA1.解：(1)设切点A、B坐标分别为x0,x02和x1,x12、x1≠x0,∴切线AP的斜率为2x0,用点斜式求得它的方程为:2x0x−y−x

（2）方法1：因为FA=由于P点在抛物线外,则|FP|≠0.∴cos⁡∠AFP=FP方法2:(1)当x1x0=0时,由于x1≠x0,不妨设x0=0,则y0=0,所以P点坐标为x12,0,则P点到直线AF当x1x0≠0时,直线AF的方程:y−14=x02−14x同理可得到P点到直线BF的距离d2=x1−2.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B(I)证明FM.(II)设△ABM的面积为S,写出S=f2.解:(1)设Ax1,y1,Bx2,设其直线方程为y=kx+1,联立4y=判别式Δ=16kx于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=x2,则易得切线AM,BM方程分别为y=1从而,FM=x1这就说明AB⊥(II)由(I)知在△ABM中,FM⊥AB∵AF=λFB(λ而4y则x2|FM因为|AF|、|BF|分别等于|AB于是S=12|AB||FM|=13.已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,经过l上任意一点P作抛物线x(1)求证:以AB为直径的圆经过点P;(2)比较AF⋅FB与3.解:(1)证明:根据已知得l的方程为y=−1设P(a,−1),由y=14x2∴化简得x12−2∴x1,x2∵PA⋅PB=x1−∴以AB为直径的圆经过点P.根据已知